ಪುಟ:Mysore-University-Encyclopaedia-Vol-1-Part-1.pdf/೨

ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ ಇಂದ
Jump to navigation Jump to search
ಈ ಪುಟವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.


ಒಂಬತ್ತು, ತೊಂಬತ್ತು, ಒಂಬೈನೂರು, ಒಂಬತ್ತು ಸಾವಿರ ಎಂಬ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿದೆ. ಎಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂಬತ್ತು ಸಾವಿರ + ಒಂಬೈನೂರು+ ತೊಂಬತ್ತು+ ಒಂಬತ್ತು. 760500 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಲಗಡೆ ಕಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರ ಸೊನ್ನೆ. ಉಳಿದ ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಯವು ಸೊನ್ನೆಗಳಲ್ಲ. ಬಲದಿಂದ ಎರಡನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿವ 0 ಗೆ ಹತ್ತು ಎಂಬ ಬೆಲೆಯೂ, ನಾಲ್ಕನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ 0 ಗೆ ಸಾವಿರ ಎಂಬ ಬೆಲೆಯೂ ಇದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಳು ಲಕ್ಷ + ಆರು ಹತ್ತು ಸಾವಿರ + ಐದು ನೂರು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಬಾಲ್ಯದಿಂದಲೇ ಕಲಿತಿರುವನಾದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಣೆ ಅನಾವಶ್ಯಕ. ಈ ವಿಧಾನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿ ಬೆಳೆದುದಾಗಿ ಭಾರತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಧಾನ ಎನ್ನಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. 7ನೆಯ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ ಸಿರಿಯನ್ನರು, ಅರಬ್ಬರು ಈ ದೇಶಕ್ಕೆ ಬಂದು ಇದನ್ನು ಕಲಿತು ಅವರ ದೇಶಗಳಲ್ಲೂ ಕಾಲಕಮದಲ್ಲಿ ಯುರೋಪಿನ ದೇಶಗಳಲ್ಲೂ ಪ್ರಚಾರಕ್ಕೆ ತಂದರು. ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪುರಾತನ ಗ್ರಂಥಗಳಾದ ವೇದಗಳಲ್ಲಿಯೂ ರಾಮಾಯಣದಲ್ಲಿಯೂ ದಾಶಮಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮ ಕಂಡುಬರುತದೆ. ಹತ್ತರ ಘಾತ(ಪವರ್) ಗಳಾದ ಲಕ್ಷ, ಕೋಟಿ, ಅರ್ಬುದ ಮುಂತಾದ ಬಹುದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಗಂಥಗಳಲ್ಲೂ ಇತರ ಹಿಂದಿನ ಗಂಥಗಳಲ್ಲೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಭಾಷೆಗನುಗುಣವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಸಂಸ್ಕೃತದಲ್ಲಿರುವ ಹಾಗೂ ಕನ್ನಡ ಮುಂತಾದ ಭಾರತದ ದೇಶಬಾಷೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಇದೆ. ಇಂಲ್ಲಿಷಿನಲಿರುವ ರೋಮನ್ ಲಿಪಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಮನುಷ್ಯನ ಕೈಬೆರಳುಗಳು ಹತ್ತಾಗಿರುವುದರಿಂದ ದಾಶಮಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮವು ಸ್ವಾಬಾವಿಕವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿತೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ನಂಬಿಕೆ ಇದೆ. ಆದರೆ ಒಂದು, ಎರ‌ಡು ಮುಂತಾಗಿ ಬೆರಳುಗಳನ್ನುಎಣಿಸಿದರೆ ಹತ್ತನೆಯ ಬೆರಳಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲ. ಎರ‌ಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ (10) ಅದನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತೇವೆಂಬುದನ್ನೂ ಸೊನ್ನೆ ಎಂಬ ಬೇರೊಂದು ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಶೂನ್ಯ ಎಂಬ ಭಾವನೆಗೆ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನೂ ಬೆಲೆಯನ್ನೂ ಕೊಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅಳವಡಿಸಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ಆಗಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುವ ವಿಧಾನವು ದಾಶಮಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮದ ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ, ಹಿರಿಮೆ. ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುವ ಮೊಟ್ಟಮೊದಲನೆಯ ವಿಷಯ ಇದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರ ಹಿರಿಮೆಯನ್ನು ನಾವು ಮನಗಾಣದೆಯೋ ಅಲ್ಪವೆಂದೋ ಭಾವಿಸುವುದುಂಟು. ಸೊನ್ನೆಯನ್ನೂ ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಸೃಷ್ಟಿಸಿ, ಗಣಿತ ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ತಳಹದಿ ಹಾಕಿಕೊಟ್ಟವನು- ಅವನು ಮಾನವನೋ, ದೇವರೋ- ಇಡೀ ನಾಗರಿಕ ಜನಾಂಗಗಳ ಕೃತಜ್ಞತೆಗೆ ಪಾತ್ರನಾಗಿದ್ದಾನೆ. 2. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಸ್ಥಿರಪಟ್ಟ ಮೇಲೆ, ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನುಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳೂ ಏರ್ಪಟ್ಟವು . ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಎಂಬವು ನಾಲ್ಕು ಪರಿಕರ್ಮಗಳು. ಗಣಿತವು ಬೆಳೆದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗಮೂಲ, ಘನಮೂಲ ಎಂಬ ಇನ್ನೆರ‌ಡು ಪರಿಕರ್ಮಗಳ ಪ್ರಯೋಗವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗೆ ಇರುವ +, -,x, ಎಂಬ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಈಚಿನವು ; ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯರಿಂದ ಬಂದವು. ಪೂರ್ವದಲ್ಲಿ ಸಂದರ್ಭವನ್ನರಿತುಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದನ್ನು ಬರೆದೋ, ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬರೆದೋ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಸ್ಥಾನಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ಅಂಕಿಗಳಿಗೆ ಬೆಲೆಯಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು ಹೇಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡವು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಕು : 463ರಲ್ಲಿ 174ನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು 463 = 400 + 60 + 3 = 400 + 50 + 13 174 = 100 + 70 + 4 = 100 + 70 + 4

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡೆಯಲ್ಲಿ 9 ಬರುತ್ತದೆ ಅನಂತರ, 300 + 150


100 + 70

200 + 80 ಆದ್ದರಿಂದ ಉತರ 289.

165 X 38 = (100 + 60 + 5) X (30 + 8) 8 ರಿಂದ ಮೊದಲು ಗುಣಿಸಿದರೆ 800

       480
        40

ಒಟ್ಟು 1320

3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ

       300
       180
        15
       495

30 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಇದರ ಹತ್ತರಷ್ಟು = 4950

        ∴ 1320
       4950
      =
       ----
       6270

ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 0 ಯನ್ನು ಬರೆಯದೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಾ£ವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬರೆಯುವುದೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ತತ್ವವನ್ನು ಅರಿತ ಮೇಲೆ ಗುಣಕದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನುಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸಹ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು 496 X 387


1488(00)
3968(0)

 347 2

19195 2

ಭಾಗಾಕಾರವು ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರತಿಲೋಮಕ್ರಿಯೆ (ಇನ್‍ವರ್ಸ್ ಪ್ರೋಸೆಸ್). ಈ ಭಾವನೆಯಿಂದಲೇ, ಇದರ ವಿಧಾನವು ಬೆಳೆದುಬಂದಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ : 381 7. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, 381 ಬರುತ್ತದೆ? 7 X5 = 35 ಆದ್ದರಿಂದ, 7 ್ಠ 50 = 350. ಆದುದರಿಂದ 381 = 350 + 31 ಎಂದು ಬರೆದು 350 7 = 50 ಆಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತರ 7 X4 = 28 ಆದ್ದರಿಂದ 317= 4, ಮೂರು ಮಿಗುತ್ತದೆ.

∴ 381 ÷ 7 = (50 + 4) + 3 ಶೇಷ. ಭಾಗಾಕಾರದ ತತ್ವವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸುವುದಾದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕ a, b ಗಳಿಗೆ (b>0), a=bq+r,0< r<b ಆಗಿರುವಂತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು q ಮತ್ತು r ಏಕೈಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಧುನಿಕ ಪ್ರೌಢಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟು, ಇದನ್ನು ಯೂಲ್ಲಿಡನ ಅಲ್ಗೋರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ನಮ್ಮ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವೆಂದು ಭಾವಿಸುವರು. ಭಾಗಾಕಾರ ಕಮಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿ ಇರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಋಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾವನೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವ ವಾಡಿಕೆ ಇಲ್ಲ.

3. ಭಾಗಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಡಿ ಸೊನ್ನೆಯಾದರ, a ಯನ್ನು ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದೂ a ಯ ಅಪವರ್ತನ b ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 15ಕ್ಕೆ 5 ಅಪವರ್ತನ; 24ಕ್ಕೆ 2, 3, 4, 8, 12 ಇವು. ಸುಲಭವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನುಸಾಮಾನ್ಯ ಮಗ್ಗಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. 2 | 4620


2 | 2310


3 | 1155


5 | 385


7 | 77


      11

∴ 4620 = 2 X2 X 3 X 5 X 7 X 11

ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಮಗ್ಗಿ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ಅಳವಡದೆ ಇರಬಹುದು. ಉದಾ: 5293 = 67 x 79. ಕೊಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಮೂಲದತನಕ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅದು ನಿಶ್ಯೇಷವಾಗಿ ಭಾಜಿತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 1 ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೊರತು ಬೇರೆ ಅಪವರ್ತನಗಳೇ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಉದಾ: 37, 101. ಇಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಪ್ರೈಮ್ ನಂಬರ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲಕ್ಷದವರೆಗಿರುವ ನಿರಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಇವೆ. ಕೆಳಗಿನವು ಎರ‌ಡು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.