ಪುಟ:Mysore-University-Encyclopaedia-Vol-1-Part-1.pdf/೩

ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ ಇಂದ
Jump to navigation Jump to search
ಈ ಪುಟವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.


ಅಂಕಗಣತ

(1). ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ. (2) a,b, c,……. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ N ನ್ನು Ν=ಚಿα bβ ಛಿγ....……………...(α,β,γ,.......ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು) ಎಂಬ

ರೂಪದೆಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವಿದೆ.zಲ್ಲಿ ಅಪªರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರ.ಶ.ಪೂ.ಸು. 300 ರಲ್ಲಿ ಬದುಕಿದ್ದ ಗ್ರೀಸ್ ದೇಶದ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಎಂಬಾತನು ಇವನ್ನು ತಿಳಿಸಿದನು. ಮೊದಲನೆಯ ಪಮೀಯಕ್ಕೆ ಆತನು ಕೊಟ್ಟ ಸಾದೆ.£ಯು ಹ¸ವೂ ್ರ É ್ರ ್ವÀ À ಸುಂದರವೂ ಆಗಿದೆ. ಗ್ರೀಕರ ಅದ್ಭುತ ತಾರ್ಕಿಕ ಬುದ್ಧಿಗೆ ಇವು ನಿದರ್±ನಗಳಾಗಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಜೋಡಿಜೋಡಿಯಾಗಿ (ನ‌ಡುವೆ 2 ವ್ಯತ್ಯಾ¸ವಿರುವಂತೆ) ಅನಂತವಾಗಿ ಸಿಕ್ಕುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮೇಯ. ಉದಾ:(5, 7),(11,13), (17, 19), (101, 103), ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಪಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆಯನ್ನು ಇದುವರೆಗೆ ಯಾರೂ ನೀಡಿಲ್ಲ. ್ರ 4. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ದತ್ತಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಿಸುವುದೇ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸುಲಭ ಸಂದರ್¨ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪರೀಕೆಗಳು ಏರ್ಪಟ್ಟಿª.É ಇವು ಅಂಕಗಣಿತೆದೆ.್ಲಿ ಬಹಳ Às ್ಷ À À À Â À À ಉಪಯುಕವಾಗುತª. ್ತ ್ತ É i. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವು 3 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 3 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ಉದಾ :48913527. ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ 39 ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 3 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ii. ಇಂಥದೆ. ನಿಯಮ 9ಕ್ಕೂ ಇದೆ. ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ 9 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾದರ, ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 9 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ಉದಾ: 5688, ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ 27. ಸಂಖ್ಯೆ 9 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾಗಿದೆ. iii. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಗqಯಿಂದ ಮೊದಲನೆಯ ಅಂಕಿ 2 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾದರ, ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 2 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲನೆಯ ಅಂಕಿ (ಬಿಡಿಸ್ಥಾ£ದೆ.ದು)0, 2, 4, 6, 8 ಆಗಿರಬೇಕು. ಇಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುತೇವೆ. ್ತ ಇದು ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ವಿಷಮ ಅಥವಾ ಬೆ¸ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುತೇವೆ. ್ತ iತೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ, ಹತೆರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿ 4 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾದರ, ್ತÀ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 4 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ; ಬಿಡಿ, ಹತ್ತು, ನೂರರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿ 8 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 8 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ಉದಾ: 9748. ಇಲ್ಲಿ 48 ಎಂಬುದು 4 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 4 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ಆದರೆ 748, 8 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 8 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಲ್ಲ. 9744, 1000 ಇವು 8 ರಿಂದ ಭಾಜಿತ. ತೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು 5 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾಗಲು, ಮೊದಲ (ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾ£ದೆ.ದು) ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಇಲ್ಲವೇ 0 ಇರಬೇಕು. ತೆi. ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ. ಒಂದು ಬಿಟ್ಟು ಒಂದು ತೆಗದೆ.ಕೊಂಡುಬರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಉಳಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆದು ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು 11 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾದರೆ, ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ 11 ರಿಂದ ಭಾಜಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾ: 8 3 5 4 5 ಇಲ್ಲಿ 5 + 5 + 8 = 18. 4 + 3 = 7. 18 - 7 =11. ಆದ್ದರಿಂದ 11 ಎಂಬುದು ಅಪªರ್ತೆನ. 1 0 1 2 5 4 5 6. ಇಲ್ಲಿ 6 + 4 + 2 + 0 = 12; 5 + 5 + 1 + 1 = 12. 12 - 12 = 0.

ಆದ್ದರಿಂದ 11 ಎಂಬುದು ಅಪªರ್ತೆನ. ಇನ್ನೂ ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೆರ‌ಡು ಪರೀಕೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳ ಉಪಯೋಗ ್ಷ À ಅಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿಲ್ಲ. 5. ಎರ‌ಡು ಅಥವಾ ಅಧಿಕ ದತೆಸಂಖ್ಯೆಗ¼ಲªನ್ನೂ ಭಾಜಿಸತೆP್ಕÀ ಅತ್ಯದಿಕ ಅಪªರ್vನಕ್ಕೆ ್ತÀ À À É ್ಲ À À ü ಅವುಗಳ ಮಹತೆಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪªರ್ತೆನ (ಮ.ಸಾ.ಅ) ಎಂದು ಹೆ¸ರು. ದvಸಂಖ್ಯೆಗಳು ್ತÀ À ್ತÀ À ಅಪªರ್ತೆನವಾಗಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅವುಗಳ ಲಘುತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪªತೆ್ಯÀ ್ (ಲ. ಸಾ.ಅ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪªರ್ತೆನಗಳು ಸುಲ¨sವಾಗಿ ದೊರPುವುದಿದ್ದರ, ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಒಡ£ಯೇ ದೊರPುತ್ತª. ಉದಾ: 41580 = 2. 2. 3. 3. 3. 5. 7. 11 18018 = 2. 3. 3. 7. 11. 13 ಮ. ಸಾ. ಅ = 2. 3. 3. 7. 11 = 1386 ಲ. ಸಾ. ಅ = 2.2.3. 3. 3. 5. 7. 11. 13 = 540540

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸುಲಭ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕ್ರಮವು ಈ ತತ್ತ್ವವನ್ನೇ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ದತ್ತಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿಯೇ ಒಂದು ಮತೊಂದರ ಅಪªರ್ತೆನವಾದರ,É ಚಿಕ್ಕದೆ.್ನು ಹೊಡೆದೆ.ಹಾಕುವ ವಿಧಾನವೂ ಈ ತತೆªನ್ನÉ ೀ ್ತ ್ತÀ ್ವ À ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.

3 ಉದಾ:

2, 3, 8, 14, 98 ಇವುಗಳ ಲ. ಸಾ. ಅ ಬೇಕು ಅನ್ನೋಣ. ಎನ್ನುವುದು 8 ರ ಅಪªರ್ತೆನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ 2 ನ್ನು ಹೊಡೆದೆ.ಹಾಕಿ, ಉಳಿದುವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುತೇವೆ. ಭಾಜಿತವಾಗದಿದ್ದರ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ್ತ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 2

2 | 2, 3, 8, 14, 98 3, 4, 7, 49 7 ಎನ್ನುವುದು 49ರ ಅಪªರ್ತೆನ.

ಇಲ್ಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ 7ನ್ನು ಹೊಡೆದೆ.ಹಾಕುತೇವೆ. ್ತ ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಲ.ಸಾ.ಅ. 2.3.4.7.49 = 8232. ಅಪವರ್ತನಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ದೊರಕದಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ವನ್ನು ಅಲ್ಗೊರಿದಮ್(ಭಾಗಾಹಾರ) ತತ್ತ್ವವನ್ನು ಪುನಃ ಪುನಃ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದೆ ತಿಳಿಸಿರುವ ಚಿ = bq1+ಡಿ1 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಚಿ, b ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪªರ್ತೆನವು ಡಿ1 ಅನ್ನೂ ಭಾಗಿಸುತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿ, b ್ತ É ್ತ ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ.ವು b, ಡಿ1 ಗಳಿಗೂ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಆಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ಭಾಗಾಹಾರ ವಿಧಿಯಿಂದ b = q2ಡಿ1+ಡಿ2 ಎಂಬುದನ್ನು ಪಡೆದರೆ, b, ಡಿ1 ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಡಿ1,ಡಿ2 ಗಳಿಗೂ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ ಡಿ1, ಡಿ2 ಕ್ರಮೇಣ ಸಣ್ಣವಾಗುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಡಿಟಿ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುವುದು. ಆಗ ಚಿ, b ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಡಿಟಿ-1 ಈಗ.. ಡಿಟಿ-1=1 ಆದರೆ, ಮ.ಸಾ.ಅ 1 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 1ರ ಹೊರತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪªರ್ತೆನವಿಲ್ಲ. ಇಂಥ ಉದಾಹರuಗಳು ಅಂಕಗಣಿತ ಪo್ಯÀ ¥ುಸPಗಳಲ್ಲಿ À É À À À Â À ್ತ À À À ಹೇರ¼ವಾಗಿ ದೊರೆಯುತ್ತª. ಎರqೀ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ. ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ. ಲ.ಸಾ.ಅ. ವನ್ನು ಸುಲ¨sವಾಗಿ ಪqಯಲು ಆಗದಿದ್ದರ, ಈ ಪಮೀಯವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸ¨ೀಕಾಗುತ್ತದೆ. ್ರ É ಉದಾ: 5135 ಮತ್ತು 7643 ಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ. ವನ್ನು ಪqಯುವ ರೀತಿ: ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 79. ಆದ್ದರಿಂದ ಲ.ಸಾ.ಅ 5135 x 7643 79

= 7643 x 65=496795.

6. ವರ್ಗಮೂಲ : ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಬರುವ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವೆಂದು ಹೆಸರು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗುಣಲಬ್ಧದ ವರ್ಗಮೂಲ. 2 x 2 = 4 ಆದ್ದರಿಂದ, 4 ರ ವರ್ಗಮೂಲ 2. ಹೀಗೆಯೇ 81ರ ವರ್ಗಮೂಲ 9, 225 ರ ವರ್ಗಮೂಲ 15. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವರ್ಗವಾಗದಿರಬಹುದು. ಆಗ ವರ್ಗಮೂಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ. ಹೀಗೆ 8, 15, 19 ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವರ್ಗಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಪqಯುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ : ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ 6 9 1 6 9 ಇದರ ಮೇಲೆ ಬಲಗಡೆಯಿಂದ ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೇಲೆ ಚುಕ್ಕಿಯನ್ನಿಡುವೆವು . ಈಗ 6ರ ವರ್ಗಮೂಲ 2ಕ್ಕೂ 3ಕ್ಕೂ ನಡುವೆ ಇದೆ. ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆವರಣದೊಳಗೆ 2 ನ್ನೂ ಎಡಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆವರಣದಲ್ಲಿ 2 ನ್ನೂ ಬರೆಯುತೇವೆ. ಭಾಗಾಹಾರPಮದಂತೆ ಭಾಗಿಸಿ, ಬರುವ ಶೇಷ ್ತ ್ರÀ À 2ಕ್ಕೆ ಮುಂದಿನ ಎರ‌ಡು ಅಂಕಿಗಳನ್ನುತೆಗದೆ.ಕೊಂಡರ, 291 ಬರುತ್ತ್ತದೆ ಬಲಗqಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿನ 2 ನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಿಸಿ, ಎಡಗಡೆ 4 ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಎಡಗಡೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿ 4 ರ ಮುಂದೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಲಗಡೆಯ ಆವರಣದಲ್ಲಿ 2 ರ ಮುಂದೆಯೂ ಇಟ್ಟು ಗುಣಿಸಿದರೆ, 291 ರಿಂದ ಕಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ. ಅಂಥ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು ನೋಡಬೇಕು. 46 x 6 = 276 ಆದ್ದರಿಂದ, ವರ್ಗಮೂಲದ ಎರq£ಯ ಅಂಕ 6. ಹೀಗೆಯೇ ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು. (i)

2 6 1 6 9 (263 4 2 x 2=4 291 46 276 6 1569 26x2=52 1569 523 ....

ಆದ್ದರಿಂದ 69169 ರ ವರ್ಗಮೂಲ: 263 ಈ ವಿಧಾನದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯು

(ii)

3 3x2=6 67 7 37 x 2=74 745

140625

140625 (375 9 506 469 3725 3725 ....

ಆದ್ದರಿಂದ ರ ವರ್ಗಮೂಲ :

375