ಪುಟ:Mysore-University-Encyclopaedia-Vol-1-Part-1.pdf/೪

ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ ಇಂದ
Jump to navigation Jump to search
ಈ ಪುಟವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.


ಅಂಕಗಣಿತ

(a + b + c +. . . .)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + c2 + 2abc +. . . . ಎಂಬ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸುತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 7. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ː ಪೂರ್ಣಾನಕಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಗಣಿತವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನಿರೂಪಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಭಾವನೆಯು ಸಹಜವಾಗಿಯೇ ಉಧ್ಬವಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗ ಮಾಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾಗವೂ ವಸ್ತುವಿನ ಮೂರನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವೆಂದೂ ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಏಳು ತುಂಡು ಮಾಡಿದರೆ ಪ್ರತಿಭಾಗವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಎರಡನೆಯ ಏಳು ಭಾಗವೆಂದೂ ಹೆಸರಿಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಭಾಗಗಳನ್ನು 1/3 ಅಥವಾ 2/3 ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂರು ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಇಬ್ಬರಿಗೆ ಹಂಚಲು, ಪ್ರತಿ ಒಬ್ಬನಿಗೂ 2/3 ಹಣ್ಣುಗಳು ದೊರಕುತ್ತವೆ. ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿವ ಇಂಥ ಸಂಖೆಗಳಿಗೆ ಬಿಣ್ನರಾಶಿಯೆಂದು ಹೆಸರು. ಮೇಲುಗಡೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂಶ ಎಂದೂ ಕೆಳಗಡೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಛೇದ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ವಿಭಾಗಿಸಿವುದೇ ಬಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸ್ವರೂಪ. ಅಂಶವು ಛೇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಶುದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿ. ಕಡಿಮೆ ಏಕಂದರೆ ಆಗ ಭಾಗಾಹಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ಒಂದು ಶುದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉಧಾ: 13/5 = 10+3 /5 3 = 2 + 3/5 . ಇದನ್ನು ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. = 2 3/5. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲಣ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಮಟ್ಟದಲ್ಲೇ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿರುತ್ತಾನೆ. ಆ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡತಕ್ಕ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಕೆಲವು ತತ್ವಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರಚಿತವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡುವಾಗ ಅಥವಾ ಗುಣಿಸುವಾಗ ಅವನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದು ನಮ್ಮ ಅಂತರ್ಭೊಡೆಯಿಂದ ತಿಳಿಯಾತಕ್ಕ ತತ್ವ. ಉದಾ : 2+3 = 3+2, 3x4, 4x3 ಇವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಉದಾ : 3/4x5/6 = 5/6x3/4 ಈ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನ ತತ್ವ (ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಪ್ರೊಪರ್ಟಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪ್ರೌಢ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸ್ವತಸ್ಸಿದ್ದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಈ ತತ್ವವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಧಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದರ ಸತ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ವಭಾವಸಿದ್ದವೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರಂತಯೇ ಗುಣಾಕಾರ ಭಾಗಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನೂ ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. 8ನ್ನು 2ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಅನಂತರ 5ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದೋ ಒಂದೇ ಪಾಲಿತಾಶ್ಮವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದರಂತೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಒಂದೇ ಭಾಗಾಕಾರದ ವಿಧಾನವಾದುದರಿಂದ, a/b X c/d = (aXc) / (bXd) ಆಗುತ್ತದೆ. 3 /4 X 5/6 = 3x5 / 4x6. ಆದ್ದರಿಂದ, a/b X k/k = ak/bk ವಿಲೊಮವಾಗಿ ak/bk = a/b X k/k = a/b X 1 = a/b. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಛೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾ : 27/36= 3x9/4x9 = 3/4. ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸುಲಭಾರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವ ವಿಧಾನ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸಂಕಲನ ವ್ಯವಕಲನಗಳು ಈ ತತ್ವವನ್ನವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಉದಾ : 3/4+5/2 7/2. ಛೇದನಗಳ ಲ.ಸ.ಆ. 20. ಆದ್ದರಿಂದ 3/4 = 3x5/4x5 = 15/20, 5/2=50/20, 7/5=28/20 ಎಂದು ಬರೆದು, 3/4+5/2 7/5 =15+20 28/20 = 37/20= 1 17/20 ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಮೊದಲೇ ತಿಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಹೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾ: 3/5X10/27X3 3/5 = 3/5 X 10/27 X 18/5 = 3X10X18/5X27X5. ಇಲ್ಲಿ 10/5 ರಲ್ಲಿ ಅಂಶಕ್ಕೂ ಛೇದಕ್ಕೂ 5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ, 18/27 ರಲ್ಲಿ 9 ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ. ಇವನ್ನು ಹೊಡೆದುಹಾಕುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಆಯಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ (ಅಪವರ್ತನಗಳಿಂದ) ಭಾಗಿಸಿ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೀಗೆ, 3x102x102 / 5x27x5 = 8x2x2 /1x3x5 = 4/5. ಭಾಗಾಕಾರವು ಗುಣಾಕಾರದ ಪ್ರತಿಲೋಮೆ ಕ್ರಿಯೆ. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ದವು 1 ಆದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತಿಲೋಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರಂತೆ (c/d,d/c) ಪ್ರತಿಲೋಮಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕಂದರೆ c/d x d/c = cxd / dxc = 1 ಆದ್ದರಿಂದ a/b / c/d = a/b x d/c = ad/bc. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಭಾಗಾಕಾರದ ತತ್ವವೇ ಇದು. 2/3 / 4/7 = 2/3 x 7/2 = 7/6. ವರ್ಗಮೂಲ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗಮೂಲ ಪಡೆಯಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪಡೆದು ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗಾಮೂಲದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾ : 1/2, SQRT(2 46/9) x SQRT(144/49) x 12/7 . ಇದರ ಸಮರ್ಥನೆ ಸುಲಭ. = ಆದ್ದರಿಂದ 144/9 ರ ವರ್ಗಾಮೂಲ 12/7. 8. ದಶಮಾಂಶಗಳು (ಡೆಸಿಮಲ್ಸ್) : ದಾಶಮಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಾಳಿಗೆ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಉಪಯೋಗಿಸುವಂತೆ, ಇದೆ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಉಪಯೋಗಿಸಿ, ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹತ್ತರ, ನೂರರ, ಸಾವಿರದ, ಇತ್ಯಾದಿ ಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಾಗ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ದಶಮಾಂಶಪದ್ದತಿ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾ : 2905.4871=(2x1000)+(9x1000)+(0x10)+5+4/10+8/100+7/1000+1/10000. ಇದರ ದಶಮಾಂಶಭಾಗವಾದ 0.487 ಎಂಬುದು ಎಂಬ ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಅಥವಾ 4871/1000 ವಿಲೊಮವಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾ : 3/8=3x1000/8x1000 = 3 X 1000/8 X 1/1000.

   = 0.375 ಅಂಕಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದ ಹಿನ್ನಲೆಯ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. 

ದಶಮಾಂಶಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹತ್ತರ ಕೋಷ್ಟಕ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುವುದರಿಂದ, ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಸುಲಭಾರೂಪಕ್ಕೆ ತಾಳುತ್ತವೆ. ಈ ಸೌಲಭ್ಯವು ವ್ಯವಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲ್ಪಟ್ಟು ಈಗ ದಶಮಾಂಶ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅಳತೆಗಳಿಗೂ ಹಣಕ್ಕೂ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. 8 ರೂ 42 ಪೈಸೆ ಎಂಬುದನ್ನು 8.42 ರೂ ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ 3 ಕಿ.ಗ್ರಾ. 60 ಗ್ರಾಂ ಎಂಬುದನ್ನು 3.6 ಕಿ.ಗ್ರಾ. ಇತ್ಯಾದಿಯಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸುತ್ತ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮೇಲೆ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಸಂಧರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಬರಬಹುದು. ಉದಾ : 1/3 = 0.3333.. ಹೀಗೆ ಅನಂತದವರೆಗೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ 0.3 ಎಂದು ಗುರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ 2.567 = 2.567567567567....567 ಅಂಕಿಗಳು ಅದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳು (ರೆಕರಿಂಗ್ ಡೆಸಿಮಲ್ಸ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಇಲ್ಲವೇ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಭಿಜಗಣಿತದಿಂದ ತಿಳಿಯತ್ತದೆ. ಇನ್ನೂ ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವ ಕ್ರಮ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. i. 0.3 = 3 / 10-1 = 3/9= 1/3 ii. ಎಂದರೆ 2.454545.... Iii . 2.1257 = 2.12575757 ಇಲ್ಲಿ 0.12 ಆವರ್ತಕವಲ್ಲ