72
ಅಂತರ್ವಿರೋಧ ತತ್ತ್ವ - ಅಂತರ್ವೇಶನ
ದಿಮ್ಮಿ ಮತ್ತು ಚಕ್ರಗಳ ಮಧ್ಯೆ ದೂಳು, ನೀರು ಇವುಗಳ ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದಂತೆ ಇಡಲು ಸಾzs್ಯÀ . ದª±ಕಿಯಿಂದ ನq¸ಲಟ್ಟ ಈ ನªುೂನೆಯ ತqU¼ು ಸಯಂಚಾಲಿತ ್ರ À À ್ತ É À ್ಪ À É À À ್ವ
ಪರಿಮಿತ ವಿಕಲನ ಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ಡಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬಹುದು. ಆಗ ಇ = 1 + ಡಿಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ u u ಜಿ (ಚಿ + uh ) = ಇ ಜಿ (ಚಿ ) = (1 + ∆ ) ಜಿ (ಚಿ )
(1)
ಎಂದು ಬರೆzು ಬಲಪಾರ್ಶದ ಪzೂೀಕ್ತಿಯನ್ನು ದ್ವಿ¥ದ ಪªುೀಯದಿಂದ ವಿಸರಿಸಿದರೆ À ್ವ É À ್ರ É ್ತ u (u − 1) 2 ∆ ಜಿ (ಚಿ ) + ಐ 2! u (u − 1) ಐ (u − ಟಿ + 1) ಟಿ + ∆ ಜಿ (ಚಿ ) ಟಿ!
ಜಿ (ಚಿ + uh ) = ಜಿ (ಚಿ ) + u∆ಜಿ (ಚಿ ) +
(2)
ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ‘ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಕಲಿತ ಸೂತ್ರ’ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಲ್ಲಿ ಜಿ(ಚಿ) ಉತ್ಪನ್ನದ (u+1) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವರ್ಗದ ಎಲ್ಲ ವಿಕಲಿತಗಳೂ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುವು. ಇದಲದೆ ಜಿ(x) ಬಹುಪದಿಯ ಘಾತªiÁನªÅÀ ಟಿ ಆದುದರಿಂದ ಜಿ(ಚಿ + uh) ಉತ£್ನÀ ವ£್ನು ್ಲ À ್ಪ À ಹೀಗೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರ 3 1. ವಾಯುದ್ವಾರ 2. ಪೂರಕ ಬೆಣೆ 3. ತಡೆದ್ರವದ ಕೋಣೆ 4. ತಡೆಲೈನುಗಳಿಗೆ 5. ವಿಸರ್ಜನ ಕವಾಟ 6. ಲೈನಿನ ವಾಪಸಾತಿ ಕವಾಟ 7. ಕೊಂತದ ವಾಪಸಾತಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ 8. ಕೊಂತದ ಕುಳಿ 9. ಕೊಂತ 10. ಕೊಂತದ ಬಿರಡೆ 11. ದೂಳನ್ನು ತಡೆವ ರಬ್ಬರ್ ಹೊದಿಕೆ 12. ಮೆಟ್ಟುಸನ್ನೆಯ ಕೊಂಡಿಗೆ
ಬಂಡಿಗಳಲ್ಲಿ (ಆಟೊಮೋಟಿವ್) ಬಹಳವಾಗಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿವೆ. ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಈ ತgºದ ಒಂದು ಜೋಡuಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. À À É (ಎಸ್.ಎಸ್.) ಅಂತರ್ವಿರೋಧ ತತ್ತ್ವ : ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಆಲೋಚನೆಯ ನಿಯಮಗ¼ಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಥಾಟ್). ಒಂದೇ ವ¸್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧ À À ಧರ್ಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದು. `ಂ'ಯು ಒಂದೇ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಕಪ್ಪು ಮತ್ತು ಬಿಳುಪಾಗಿರಲಾರದು. ಇದು ಆಲೋಚನೆಯ ಸ್ವತಸ್ಸಿದ್ಧವಾದ ನಿಯಮ. ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಉಲ್ಲಘಿಂಸಿದರೆ ಆಲೋಚನೆಯೇ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. (ಜಿ.ಎಚ್.) ಅಂತರ್ªೀಶನ : ಗಣvವಿಜ್ಞಾನ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ರ್ತದ ಹಲವು ಸಂಖ್ಯಾv್ಮÀಕ É Â À ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಚಲರಾಶಿಯ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (¥sóÀಂಕ್ಷನ್) ಬೆ¯U¼£್ನು ತಿಳಿಯಲಾಗುತz.É ಚಲರಾಶಿಯ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆ¯U¼ು ಅಥವಾ ಸ್ಥಾ£U¼ು É À À À ್ತ É À À À À À ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸªiÁಂತgzಲಿgುವುವು. ಅನೇಕ ಸಂದರ್¨ಗ¼ಲ್ಲಿ ಇವುಗಳ ನqುವಣ À À À ್ಲ À Às À À ಸ್ಥಾ£Uಳಿಗೆ ತP್ಕÀ ಉತ£್ನÀ ಬೆ¯U¼£್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತz. ಇಂಥ ಬೆ¯U¼£್ನು À À ್ಪ É À À À ್ತ É É À À À ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ವೇಶನ (ಇಂಟರ್‍ಪೊಲೇಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪರಿಮಿತ ವಿಕಲನ ಸೂತUಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಂತರ್ªೀಶ£ª£್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ್ರ À É À À À ಉಕ್ತ ಉತ£್ನÀ ವ£್ನು ಬಹುಪದಿಯ ರೂಪzಲ್ಲಿ ಸಾಕµ್ಟು ನಿಖರvಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲು ್ಪ À À À É ಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಅಂತರ್ವೇಶನದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಬಹುಪದಿಯ ಘಾತªiÁನªÅÀ ಟಿ ಆದರೆ ಬಹುಪದಿಯ ನಿರೂಪuಯಲ್ಲಿ (ಟಿ+1) À É ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು (ಅನ್ನೋನ್ ಕಾನ್‍ಸ್ಟೆಂಟ್ಸ್) ಇರುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು (ಟಿ+1) ಸಮೀಕgಣಗ¼ು ಆವ±್ಯÀ ಕ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಉತ್ಪ£್ನÀ ದ À À (ಟಿ+1) ಬೆ¯U¼ು ಗೊತ್ತಾU¨ೀಕು. ಆದಕಾರಣ ಉತ£್ನÀ ದ (ಟಿ+1) ಬೆ¯U¼ು ದvವಾದಾಗ É À À À É ್ಪ É À À ್ತÀ ಉತ್ಪನ್ನವು ಟಿ ಘಾತಮಾನದ ಬಹುಪದಿಯೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ (ಟಿ+1) ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವರ್ಗದ ವಿಕಲಿತಗಳು (ಡಿ¥sóÀರೆನ್ಸಸ್) ಶೂನ್ಯವಾಗುವುವು. ಉತ£್ನÀ ದ (ಟಿ+1) ಬೆ¯Uಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಉಪ¸ªುವಾದ ಬಹುಪದಿಯಲ್ಲಿgುವ ್ಪ É À À À À (ಟಿ+1) ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಥಿರಾಂಕU¼£್ನು ಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಅವ±್ಯÀ . ಅನಂತರ ಚಲಕದ À À À ಯಾವ ಬೆ¯ಗೆ ಬೇಕಾದgೂ ಉತ£್ನÀ ದ ಬೆ¯ಯನ್ನು ಸುಲ¨sವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. É À ್ಪ É À ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭಸಾಧ್ಯವಾಗಿರು ವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದರ ಅಗv್ಯÀ ªÇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ (ಟಿ+1) ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಥಿರಾಂಕU¼£್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯದೆಯೇ À À À À ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅಂತರ್ವೇಶನವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತU¼ು : ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಅಂತರ್ªೀಶ£P್ಕÉ ಸಹಾಯವಾದ É ್ರ À À É À ಸೂತU¼ಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾದುವೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ. ಚಲರಾಶಿಯ ಚಿ, ಚಿ+h, ಚಿ+2h, ್ರ À À ್ರ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ h ಅಂತರವುಳ್ಳ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಜಿ(x) ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗೊತ್ತಾಗಿವೆ. ಪರಿಮಿತ ವಿಕಲನದ ಕಾರಕಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಡಿ ಎಂದು sಸೂಚಿಸಿದರೆ ಡಿಜಿ(ಚಿ) = ಜಿ(ಚಿ+h) −ಜಿ(ಚಿ); ಡಿ2ಜಿ(ಚಿ) = ಡಿಜಿ(ಚಿ+h) − ಜಿ(h) ಎಂದು ಮುಂತಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರವರ್ಧಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ಇಜಿ(x) = ಜಿ(x+h) ಎಂದು ವ್ಯಾS್ಯÉ ಮಾಡುತೇವೆ. ್ತ
ಜಿ (ಚಿ + uh ) = ಅ 0 + ಅ1u + ಅ 2 u (2 ) + ಐ + ಅ ಟಿ u (ಟಿ )
(3)
ಇಲ್ಲಿ u = u (u − 1) ಐ (u − ಡಿ + 1) ಎಂದರೆ, u ಎನ್ನುವುದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ. , ಈಗ ಇಲ್ಲಿ (3) ರಲ್ಲಿ u = 0 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಲು ಜಿ(ಚಿ) = ಅo ಆಗುತ್ತದೆ. ಅಂತರ ಕಲನವನ್ನು ತೆಗೆದು ಅನಂತರ u = 0 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಡಿ ಜಿ(ಚಿ) = ಅ1 ದೊರೆಯುವುದು. ಅಂತgPಲನª£್ನು ಪ£ರಾವರ್ತಿಸುತ್ತ ಪತಿ ಘಟzಲಿಯೂ u = 0 À À À À À ್ರ ್ಟ À ್ಲ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದg, É (ಡಿ )
∆2 ಜಿ (ಚಿ ) = 2! ಅ 2 , ∆3 ಜಿ (ಚಿ ) = 3! ಅ 3 ,ಐ ∆ಟಿ ಜಿ (ಚಿ ) = ಟಿ! ಅ ಟಿ
ಹೀಗೆ ಲಭಿಸಿದ ಅ0, ಅ1,…….ಅಟಿ ಗಳ ಬೆ¯U¼£್ನು (3) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ É À À À ನ್ಯೂಟನ್ ಸೂತ್ರ ಸಿದ್ಧಿ¸ುವುದು. ಈಗ ಚಿ = 0, h = 1, u = x ಎಂದು (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದರೆ À ಅದು ಈ ಕೆ¼Pಂಡ ಸgಳ ರೂಪª£್ನು ತಾಳುವುದು: À À À À À x (x − 1) 2 ∆ ಜಿ (0 ) 1⋅ 2 x ( x − 1 )( x − 2 ) 3 ∆ ಜಿ (0 ) + ಐ ಐ + 1⋅2 ⋅3
ಜಿ ( x ) = ಜಿ (0 ) + x ∆ ಜಿ (0 ) +
(4)
ಸೌಲ¨s್ಯÀ ಕ್ಕಾಗಿ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ h = 1ಎಂದು ತೆUzುಕೊಳೋಣ. ಈ ಸೂತzಲ್ಲಿ ಜಿ(x) É À ್ಳ ್ರ À ನ ಬೆ¯ಯನ್ನು ಅವgೂೀಹಿ ವಿಕಲಿತUಳ (ಡಿಸೆಂಡಿಂಗ್ ಡಿ¥sg£ಸ್) ಮೂಲಕ É É À À ó É ್ಸÀ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗುವುದರಿಂದ ಇದ£್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ಅವgೂೀಹಿ ಸೂತ್ರ ಎನ್ನುತೇವೆ. ಅವgೂೀಹಿ À É ್ತ É ವಿಕಲಿತUಳಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಆರೋಹಿ (ಅಸೆಂಡಿಂಗ್) ವಿಕಲಿತU¼£್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಸಿದ್ಧಿ¸ುವ À À À À À ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತª£್ನು ನ್ಯೂಟನ್ ಆರೋಹಿ ಸೂತª£್ನುತೇವೆ. ಅದಾಗಿ É ್ರ À À ್ರ É À ್ತ x (x + 1 ) 2 ∇ ಜಿ (0 ) 1⋅2 x ( x + 1 )( x + 2 ) 3 ∇ ಜಿ (0 ) + ಐ ಐ + 1⋅ 2 ⋅3
ಜಿ ( x ) = ಜಿ (0 ) + x ∇ ಜಿ (0 ) +
(5)
ಕೇಂದ್ರ ವಿಕಲಿತ ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತ್ರ : ನ್ಯೂಟನ್ ಅವgೂೀಹಿ ಅಂತರ್ªೀಶನ É É É ಸೂತzಲಿನ ಅಗವಿಕಲಿತU¼ು ಪgಂಪgಯ ಸೋಪಾನPªುದಲ್ಲಿ ಇಳಿಯುತ್ತ ಹೋಗುವುದು ್ರ À ್ಲ ್ರ À À À É ್ರÀ À ಜಿ(ಚಿ) ಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶದಲಿನ ಉತ£್ನÀ ಬೆ¯U¼£್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತz.É ಇದP್ಕÉ ಪತಿಯಾಗಿ ್ವ ್ಲ ್ಪ É À À À ್ತ ್ರ ಜಿ(ಚಿ)ಯ ಉ¨sಯ ಪಾರ್ಶದಲ್ಲೂ ಇರುವ ಬೆ¯U¼£್ನು ಒಳUೂಂಡ ಸೂತª£್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. À ್ವ É À À À É ್ರ À À ಗಾóಸ್ ಎಂಬುವ£ು ಈ ಬಗೆಯ ಎರqು ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತU¼£್ನು ಅಳªಡಿಸಿದ್ದಾ£.É À À É ್ರ À À À À x( x − 1) (x − 2 )ಐಐ (x − ಡಿ + 1) ಅನ್ನು ಡಿ!
xಡಿ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿ ಈ
ಸೂತU¼£್ನು ಕೆ¼Pಂಡಂತೆ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ್ರ À À À À À
ಜಿ ( x ) = ಜಿ (0) + x1 ∆ಜಿ (0 ) + x 2 ∆2 ಜಿ (− 1) + ( x + 1)3 ∆3 ಜಿ (− 1) +
(x + 1)4 ಜಿ (− 2 ) + (x + 2 )5 ∆ಜಿ (− 2 ) + ಐಐಐ ಜಿ ( x ) = ಜಿ (0) + x1 ∆ಜಿ (− 1) + ( x + 1)2 ∆2 ಜಿ (− 1) + ( x + 1)3 ∆3 ಜಿ (− 2 ) + ( x + 2)4 ∆4 ಜಿ (− 2 ) + ಐಐ 1
(6)
(7)
ಮೊದಲನೆಯ ಸೂತP್ಕÉ ನ್ಯೂಟನ್-ಗಾóಸ್ ಅಗಗಾಮಿ ಸೂತ್ರ (ಫಾರ್‍ವರ್ಡ್ ಫಾರ್ಮುಲ) ್ರ ್ರ ó ó ಎಂದೂ ಎರq£ಯದP್ಕÉ ನ್ಯೂಟನ್-ಗಾóಸ್ ಅಪಗಾಮಿ ಸೂತ್ರ (ಬ್ಯಾಕ್‍ವರ್ಡ್ ಫಾರ್ಮುಲ) À É ó ಎಂದೂ ಹೆಸರು.
