ಅಂತಃಕ್ಷೇಪೋಕ್ತಿ
74 ಜಿ (x0 ) 1 ಜಿ (x ) = ⋅ (x − x0 )ಐ (x − x ಟಿ ) (x0 − x1 )ಐ (x − x0 ) x − x0 +ಐ+
ಜಿ (x ಟಿ ) 1 ⋅ (xಟಿ − x0 )ಐ (x ಟಿ − xಟಿ −1 ) x − x ಟಿ
(18)
ಇದರ ಉಭಯ ಪಾಶ್ರ್ವವನ್ನೂ (x – ಚಿ0) (x – ಚಿ1)…….. (x – ಚಿಟಿ) ಇಂದ ಗುಣಿ¸ಲು ಜಿ ( x ) = ( x − x1 )ಐ ( x − x ಟಿ ) ಜಿ ( x ) + ಐ À (x 0 − x1 )ಐ (x 0 − x ಟಿ ) 0 (x − x 0 )ಐ (x − x ಟಿ −1 ) ಜಿ (x ) + (x ಟಿ − x 0 )ಐ (x ಟಿ − x ಟಿ −1 ) ಟಿ (19)
ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದP್ಕÉ ಲೆಗ್ರಾಂಜ್ ಸೂತªಂದು ಹೆ¸gು. ್ರ É À À ವಿಲೋಮ ಅಂತರ್ವೇಶನ (ಇನ್ವರ್ಸ್ ಇಂಟರ್‍ಪೊಲೇಷನ್): ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಕ್ರಮದಿಂದ ಚಲರಾಶಿಯ ದತ್ತ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು. ಇದP್ಕÉ ವ್ಯತಿರಿಕವಾಗಿ, ಉತ£್ನÀ ದ ಬೆ¯U¼ು ಗೊತ್ತಿದ್ದಾಗ ಅವP್ಕÉ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಚಲರಾಶಿಯ ್ತ ್ಪ É À À ಬೆ¯U¼£್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದP್ಕÉ ವಿಲೋಮ ಅಂತರ್ªೀಶನ ಎಂದು ಹೆ¸gು. ವಿಲೋಮ É À À À É À À ಅಂತರ್ªೀಶ£ª£್ನು ಸಾಧಿ¸ಲು ನಾಲ್ಕು ವಿಧಾನU¼ುಂಟು. É À À À À À À I ಮೊದಲನೆಯದ£್ನು ಲೆಗ್ರಾಂಜ್ ಸೂತದಿಂದ ಸಾಧಿ¸ಬಹುದು. ಈಗ ಜಿ(x) = À ್ರ À ಥಿ, ಜಿ(ಚಿ0) = ಥಿ0, ಜಿ(ಚಿ1) = ಥಿ1………ಜಿ(ಚಿಟಿ) = ಥಿಟಿ ಎಂದು ಬರೆದು (18)ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು. ಆಗ ಲೆಗ್ರಾಂಜ್ ಸೂತ್ರ ಈ ಕೆ¼Pಂಡ ರೂಪª£್ನು ಹೊಂದುವುದು. À À À À (x − x1 )ಐ (x − xಟಿ ) ಥಿ0 + ಐ ಥಿ= (x0 − x1 )ಐ (x0 − x ಟಿ )
+
(x − x0 )ಐ (x − xಟಿ −1 ) ಥಿ (x ಟಿ − x0 )ಐ (x ಟಿ − x ಟಿ −1 ) ಟಿ
(20)
ಈ ಥಿ ಅನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲರಾಶಿಯನ್ನಾಗಿಯೂ x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿತ ಚಲರಾಶಿಯನ್ನಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸಿದg, ಅರ್ಥಾತ್ x, ಥಿ ಗ¼£್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ É À À
x=
( ಥಿ − ಥಿ0 )...( ಥಿ − ಥಿಟಿ −1 ) ( ಥಿ − ಥಿ1 )...( ಥಿ − ಥಿಟಿ ) xಟಿ x0 + ... ( ಥಿಟಿ − ಥಿ0 )...( ಥಿಟಿ − ಥಿ ಟಿ −1 ) ( ಥಿ0 − ಥಿ1 )...( ಥಿ0 − ಥಿ ಟಿ )
ಇದ£್ನು ಮತ್ತೆ ನ್ಯೂಟನ್ ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತzಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಲು x ನ ತೃತೀಯ À É ್ರ À ಉಪ¸ªುಬೆ¯ಯು ಪ್ರಾ¥ವಾಗುವುದು. À À É ್ತÀ ಅಂದರೆ ಥಿ − ಥಿ0 2 x (3 ) = 1 1 (2 ) 2 ∆ ಥಿ 0 + [x − 1]∆ ಥಿ 0 + [x (2 ) − 1] [x (2 ) − 2]∆3 ಥಿ 0 6 2 (23) ಹೀಗೆ ಕ್ರಮಕ್ರಮವಾಗಿ x ನ ಇತರ ಉಪಸಮಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತ ಹೋಗಬಹುದು. iii ತೃತೀಯ ವಿಕಲಿತಗಳ ವಿಸರ್ಜನ ವಿಧಾನ : ನ್ಯೂಟನ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸೂತದಲ್ಲಿ ತೃತೀಯ ್ರ ವಿಕಲಿತzªgಗೆ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಾಗ À À É ಜಿ (x ) = ಜಿ (0 ) + x ∆ ಜಿ (0 ) +
x(x − 1) 2 ∆ ಜಿ (0 ) + ಐ 2!
(24)
ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದೇ ಸೂತª£್ನು ಉಗªುಸ್ಥಾ£zಲ್ಲಿ 1 ರಲಿರಿಸಿ (x-1) ಅಂತರ ್ರ À À À À À ್ಲ ಮಾಡಿ ಬರೆದಾಗ ಜಿ ( x ) = ಜಿ (1) + ( x − 1) ∆ ಜಿ (1) +
x( x − 1)( x − 2) 2 ∆ ಜಿ (1) + ಐ 2!
(25)
ಎಂದಾಗುವುದು. ಈಗ x ನ ಅಂದಾಜುಬೆ¯ಯನ್ನು α ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ, (26)ನ್ನು É (3 - α)ದಿಂದಲೂ (24)ನ್ನು α ದಿಂದಲೂ ಗುಣಿಸಿ ಕೂಡಿದಾಗ 3 ಜಿ ( x ) = (3 − α ) ಜಿ (0 ) + α ಜಿ (1) + (3 − α )x∆ಜಿ (0 ) + α ( x − 1) ∆ಜಿ (1) +
1 2
(3 − α )x(x − 1)∆2 ಜಿ (0) + 1 α (x − 1)( x − 2)∆2 ಜಿ (1) 2
ಇದgಲ್ಲಿ ಜಿ(x), ಜಿ(0), ಡಿಜಿ(0) ಮೊದಲಾದ ರಾಶಿಗಳ ಬೆ¯U¼£್ನು ಆದೇಶಿಸಲು xನಲ್ಲಿ À É À À À ಒಂದು ವರ್Uಸಮೀಕgಣವು ಲಭಿ¸ುವುದು. ಇದ£್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x ನ ಬೆಲೆ ದೊರೆಯುತz.É À À À À ್ತ ಈ ಎರqು ಬೆ¯U¼ಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬೆಲೆ ಸೂಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಮತೊಂದು ಅನ್ಯಕೀಯ À É À À ್ತ ್ತ (ಎಕ್ಸ್ ಟೇನಿಯಸ್) ಮೂಲವಾಗಿರುವುದು. ಇದನ್ನು ತೊರೆದು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ್ರ ಗ್ರಾº್ಯÀ ªಂದು ಅರಿಯಬೇಕು. É ಥಿ = ಚಿ 0 + ಚಿ1 ಘಿ + ಚಿ 2 ಘಿ 2 + ಐ + ಚಿ ಟಿ ಘಿ ಟಿ iv. ಶ್ರೇಣಿ ವಿಪರ್ಯಾಸ ವಿಧಾನ : ಆಗಿದ್ದು ಈ ಶೇಣಿ ಟಿ → ∞ ಆದಾಗ ಉಪ¸ರಿಸುವುದೆಂದg, x ನ್ನು ಥಿ ಯ ಘಾತUಳ ್ರ À É À ಅನಂತ ಉಪ¸gಣ ಶೇಣಿಯ ರೂಪzಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಎಂದg, À À ್ರ À É x = b0 + b1 ಥಿ + b2 ಥಿ 2 + ಐಐ
(21)
ಎಂದಾಗಬಹುದು. ಬಲಪಾರ್ಶದ ಎಲ್ಲ ರಾಶಿಗಳ ಬೆ¯U¼ೂ ಗೊತ್ತಿªಯಾದುದರಿಂದ ಆ ಬೆ¯U¼£್ನು ್ವ É À À É É À À À ಆದೇಶಿಸಿ x ನ ಬೆ¯ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. É ii .ಕªiÁನುಗತ ಉಪ¸ªುವಿಧಾನ : ಈ ವಿಧಾನzಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಯಾವುದಾದgೂ ್ರ À À À À À ಒಂದು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅನಂತರ ಕ್ರಮಕ್ರಮವಾಗಿ ಸನ್ನಿಹಿತ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೇಗೆಂದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ಅಂತರ್ªೀಶನ ಸೂತದ ಪಕಾರ É ್ರ ್ರ ( x( x − 1)( x − 2) 3 x x − 1) 2 ∆ ಥಿ0 + ∆ ಥಿ0 + ಥಿ = ಥಿ 0 + x∆ಥಿ 0 + 2! 3! (22)
ಪxªು ವಿಕಲಿತª£್ನು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಪzU¼£್ನು ತ್ಯಜಿಸಿದರೆ ್ರ À À À À À À À À (1) ಸಿದ್ಧಿ¸ುತz. x ನ ಪxªು ಸ್ಥೂಲಬೆಲೆ − ಥಿ ್ರ À À À ್ತ É ಥಿx 0 x (1) = ∆ಥಿ 0 ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದನ್ನು (21)ರ ಬಲಪಾಶ್ರ್ವದ ಅಂದರೆ ಮೂರ£ಯ ಪzzಲ್ಲಿ (x – 1) ಎಂಬ ಗುಣಕzಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ, ದ್ವಿತೀಯ ವಿಕಲಿತU¼ªgಗೆ É À À À À À À É ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು ಮಿಕ್ಕ ಪದಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೆ x ನ À ಥ್ತಿ − É ದ್ವಿತೀಯ ಉಪ¸ªುಬೆಲೆ x( 2) ಲಭಿ¸ುತz. ಥಿ À À 0 x (2 ) = 1 (1) ಅಂದರೆ ∆ಥಿ 0 + [x − 1]∆2 ಥಿ 0 ಎಂದಾಗುವುದು. 2
ಈಗ ಥಿ − ಚಿ 0 = z ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ, ಚಿ1
z = x+
ಚಿ 2 2 ಚಿ3 3 x + x + ಐ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿ1 ಚಿ1
ಶೇಣಿವಿಪರ್ಯಾಸದಿಂದ ್ರ x = z + b2 z 2 + b3 z 3 + ಐ ಎಂದಾಗಲಿ, x ನ ಈ ಬೆ¯ಯನ್ನು ಮೇಲಣ ಸಮೀಕgಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಲು É À
(
) ಚಿ (z + b z ಚಿ + ಐ) + ಐ
z = z + b2 z 2 + b3 z 3 + ಐ +
(
ಚಿ3 z + b2 z 2 ಚಿ1
2
2
2
)
2
+ಐ + 7
1
3
ಇದೊಂದು ನಿತ್ಯ¸ಮೀಕgಣವಾದ್ದರಿಂದ ಬಲಪಾರ್ಶದಲ್ಲಿ z ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ z ನ À À ್ವ ಘಾತU¼ಲªÇ ಲೋಪವಾಗುವುದು, ಆದ್ದರಿಂದ À É ್ಲ À ಚಿ ಚಿ ಚಿ b2 + 2 = 0 ; b3 + 2 2 b2 + 3 = 0 ; ಇತ್ಯಾದಿ. ಚಿ1 ಚಿ1 ಚಿ1 ನ್ಯೂಟನ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸೂತ್ರವನ್ನು x ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನಾಗಿ ಬರೆದು ಈ ¥sಲಿತಾಂಶª£್ನುಪಯೋಗಿಸಿ ಶೇಣಿವಿಪರ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಥಿ ಯ ಶೇಣಿgೂಪzಲ್ಲಿ À À À ್ರ ್ರ À À ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. (ಎಂ.ವಿ.ಜೆ.) ಅಂತಃಕ್ಷೇಪೋಕ್ತಿ : (ಇಂಟರ್‍ಪೊಲೇಷನ್ ಫಾರ್ಮುಲ) ಆzsುನಿಕ ಅಂಕಶಾಸ್ರ್ತP್ಕÉ À ಒಂದು ಅಂಗವಾದ ಅಂತಃಕ್ಷೇಪ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂಬ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತನೆಂಬುವನು ಖಂಡಖಾದ್ಯPªಂಬ ತ£್ನÀ ಇನ್ನೊಂದು ಗಂಥzಲ್ಲಿ ಮೊಟ್ಟªೂದಲನೆಯ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು À É ್ರ À É
