ಗಣ ಸಿದ್ದಾಂತ
ಈ ಶೂನ್ಯಗಣ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಕ್ಕೂ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತದೆ.A ಒಂದು ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ A ⊖=A ಮತ್ತು A ⊖= ⊖ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ.
AB= ⊖ ಆಗಿದ್ದರೆ A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ವಿಯೋಜಿತ ಗಣಗಳೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
ವಿಶ್ವಗಣ : ಯವುದೇ ಗಣಿತ ವಿಚಾರಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವ ಎಲ್ಲ ಗಣಗಳೂ ಯವುದೇ ಒಂದು ಗಣ Sನ ಉಪಗಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ವಿಚಾರಸರಣಿಯಲ್ಲಿ Sನ್ನು ವಿಶ್ವಗಣವೆಂದು(ಯೂನಿವಸ೯ಲ್ ಸೆಟ್)ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.ಈಗ A ⊆ S ಮತ್ತು B ⊆ S ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ A ∪ B ⊆ S ಮತ್ತು AB⊆ S.ಈ ವಿಶ್ವಗಣ Sನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಯಾವ ಉಪಗಣ A ಯನ್ನೂ ಸರಿಯೋಗ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಮಾಡಬಹುದು.
ಇಲ್ಲಿ S∪A=S ಮತ್ತು SA=A ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.
ಆಯ್ಲರ್-ವೆನ್ ಚಿತ್ರಗಳು:ಜ್ಯಾಮೀತಿಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಗಳನ್ನೂ ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಗ,ಛೇದನ ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ಕಣ್ಣಿಗೆ ಕಟ್ಟುವಂತೆ ಚಿತ್ರಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.ಇಂಥ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಆಯ್ಲರ್ ಚಿತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ವೆನ್ ಚಿತ್ರಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಶ್ವಗಣವನ್ನು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಆಯತ ಪತಿನಿಧಿಸುವಂತೆಯೂ ಅದರ ಉಪಗಣಗಳನ್ನು ಆಯತದ ಒಳಗಿನ ಪತಿನಿಧಿಸುವಂತೆಯೂ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ.
ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸುವ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ S ವಿಶ್ವಗಣ,A ಮತ್ತು B ಅದರ ಎರಡು ಉಪಗಣಗಳು,ಎಂದರೆ(ವಗ೯ಸಮ ನಿಯಮ,B ⊆ S,ಚಿತ್ರ (೧)ರಲ್ಲಿ A ∪ B ಯನ್ನು A ಮತ್ತು B ಎರಡನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಅವೃತವಾಗಿರುವ ಭಾಗ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಛೇದನಗಳ ಮುಖ್ಯ ಸಂಬಂಧಗಳು :ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಛೇದನಗಳ ಪಾಲಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿದೆ.ಸಂಯೋಗ:
೧.A ∪ ⊖=A ೨.A ∪ B= B ∪ A(ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ) ೩.A ∪( B ∪ C )=( A ∪ B )∪ C(ಸಾಹಚಯ೯ ನಿಯಮ) ೪.A ∪ A=A(ವಗ೯ಸಮ ನಿಯಮ-ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಲಾ) ೫. A ⊆ B= A ∪ B= B
ಛೇದನ:
೧.A ⊖= ⊖ ೨.AB=BA(ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ) ೩.A(BC)=(AB)C(ಸಾಹಚಯ೯ ನಿಯಮ) ೪.AA=A(ವಗ೯ಸಮ ನಿಯಮ) ೫.A ⊆ B=AB=A
ವಿತರಣ ನಿಯಮಗಳು : ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಛೇದನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿ ವಿತರಣ ನಿಯಮಗಳನ್ನು(ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟಿವ್ ಲಾಸ್) ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ.
A ∪ (BC)= ( A ∪ B ) (A ∪ C) A ( B ∪ C)= (AB)∪(AC)
ಸೂಕ್ತವಾದ ವೆನ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ್ ನಿಯಮಗಳನ್ನೂ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು.
ಪೂರಕಗಳು(ಕಾಂಪ್ಲಿಮೆಂಟ್ಸ್):A ಮತ್ತು Bಗಳು ಎರಡು ಗಣಗಳಾದರೆ Bಯಲ್ಲಿದ್ದು A ಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಎಲ್ಲ ಧಾತುಗಳು ಒಂದು ಗಣವನ್ನು ಏಪ೯ಡಿಸುತ್ತವೆ.ಇದನ್ನು B ಯಲ್ಲಿ Aಯ ಪೂರಕ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ;ಮತ್ತು B-A ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಚಿತ್ರ(೩)ರಲ್ಲಿB ಯನ್ನು ಓರಗೆರೆಗಳಿಂದ ತುಂಬಿಸಿರುವ ಭಾಗ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.ಅದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ B-A = B-(AB) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯುವುದು.
ಈಗ S ವಿಶ್ವಗಣವೂ A ಅದರ ಒಂದು ಉಪಗಣವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ S-A ಯನ್ನು Sನಲ್ಲಿ A ಯ ಪೂರಕವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು A ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.ಪೂರಕಗಳು ಪಾಲಿಸುವ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದೆ.
1.(A′)′= A 2. = S 3.A U A′= S 4.S′= 5.AA′=Ø 6. A ⊂ B= B′⊂ A′ 7.(A U B)= A′B′ 8.(AB)= A′U B′
ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನೂ ಆಯ್ಲರ್-ವೆನ್ ಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು.ಕೊನೆಯ ಎರಡಕ್ಕೆ ಡಿಮಾಗ೯ನ್ ನ ನಿಯಮಗಳೆಂದು ಹೆಸರು.
ಸಮಾಂಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ : A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಗಣಗಳಾಗಿದ್ದರೆ (A-B)U (B-A)ಗೆ A ಮತ್ತು Bಗಳ ಸಮಾಂಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದು ಹೆಸರು.A+B ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎಂದರೆ A+B= (A-B)U (B-A) ಚಿತ್ರ(೪)ರಲ್ಲಿ ಓರಗರೆ ತುಂಬಿಸಿದ ಭಾಗ(A+B)ಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.ಪರಿವತಿ೯ಸಿದರೆ ಸಮೀಕರಣ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ್.ಎಂದರೆ A+B=B+A.ಈ ಕಾರಣದಿಂದ A+Bಗೆ ಸಮಾಂಗ(ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್)ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. A,B,C ಗಳು ಯಾವ ಮೂರು ಗಣಗಳಾದರೂ (A+B)+C= A+(B+C),A+Ø= A ಮತ್ತು A+A=Ø ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು.ಹೀಗಾಗಿ ಎಂಬ ದ್ವಿಗುಣ ವಿಶ್ವಗಣದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳೂ ಮುಂದೆ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿರುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ.ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳು ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಯ ಗ್ರೂಪ್(ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್)ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.ಏಕಂದರೆ
1.A,B ⊂ S ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ A+B⊂S 2.(A+B)+C=A+(B+C) (ಸಾಹಚಯ೯ ನಿಯಮ) 3.A+B=B-A (ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ) 4.A+ =A ಎಂದರೆ ಈ ಪರಿಕಮ೯ಕ್ಕೆ Ø ಎಂಬುದೇ ಏನಾಂಶ 5.A+A= ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು Aಗೂ ಅದೇ ಗಣ ವ್ಯಸ್ತ
ಘಾತಗಣಗಳು : ಈ ವರೆಗೆ ದತ್ರಗಣ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಪ್ರಸ್ತಾವಿಸುತ್ತಿದ್ದೆವು.ಇವೆಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಧಾತುಗಳಾಗಿ ಪಡೆದಿರುವ ಒಂದು ಗಣವುಂಟೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ಮುಂದೆ ಉಕ್ತವಾಗಿರುವ ಧಾತುಗಳ ಅದ್ಯುಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕುತ್ತದೆ.
