ಪುಟ:Mysore-University-Encyclopaedia-Vol-6-Part-1.pdf/೪೦

ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ದಿಂದ
ಈ ಪುಟವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

UÀt ¹zÁÞAvÀ

40

S MAzÀÄ UÀtªÁVzÀÝgÉ EzÀgÀ ¸ÀªÀĸÀÛ G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÆß M¼ÀUÉÆArgÀĪÀ MAzÀÄ UÀt GAlÄ. FUÀ F UÀtzÀ°è S £À G¥ÀUÀtUÀ¼Éà C®èzÉ EvÀgÀ zsÁvÀÄUÀ¼ÀÆ EgÀĪÀÅzÀPÉÌ CªÀPÁ±À«zÉ. F vÉÆAzÀgÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ªÁj¸À®Ä P(S) = { X | X ⊂ S}

JAzÀ Ä «²¶Ö à PÀ j ¹zÀ g É P(S) £À ° è S £À G¥À U À t UÀ ¼ À Ä ªÀ i ÁvÀ æ zsÁvÀÄUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. P(S) UÉ S £À WÁvÀUÀtªÉAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ. GzÁºÀgÀuÉ : S = {1, 2} DVzÀÝgÉ DUÀ P(S) = {

φ,

{1}, {2}, {1, 2} }

»ÃUÉ P(S) £À°è 22 zsÁvÀÄUÀ½ªÉ. »ÃUÉAiÉÄà S £À°è n zsÁvÀÄUÀ½zÀÝgÉ P(S) £À°è 2n zsÁvÀÄUÀ½gÀÄvÀª. S ¸ÁAvÀUtªÁVzÀÝgÉ p(s) £À°gĪÀ zsÁvÀÄUÀ¼À Û É À è À ¸ÀASÉå 2gÀ MAzÀÄ WÁvÀ. EAxÀ UÀtUÀ¼À£ÀÄß WÁvÀUÀtUÀ¼ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ F PÁgÀt¢AzÀ. E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÁzÀgÀÆ P(E) P (F) = P (E F) ªÀÄvÀÄÛ P(E) U P(F) ⊂ P(E U F) JA§ ¸ÀA§AzsÀUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛªÉ. §Æ°AiÀÄ£ï ©ÃdUÀtvÀ : zÀvÀÛUÀt S£À ¸ÀªÀĸÀÛ G¥ÀUÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀ  (U) ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ£À ( ) ¥ÀjPÀªÀÄðUÀ½UÉ C£ÀĸÁgÀªÁV ¥Á°¸ÀĪÀ PÉ®ªÀÅ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß CªÀÄÆwÃðPÀj¹ CªÀÅUÀ½AzÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£Éßà DzÀÄåQÛUÀ¼ÁV (¥Á¸ÀÄÖöå¯ÉÃmïì) vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À DzsÁgÀUÀ¼À ªÉÄÃ¯É gÀavÀªÁVgÀĪÀ UÀtÂvÀ±ÁSÉUÉ §Æ°AiÀÄ£ï ©ÃdUÀtÂvÀªÉAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ. vÀPð±Á¸ÀçÛz°è §gÀĪÀ ªÀUð¹zÁÞAvÀz°è (yAiÉÆj D¥sï PÁ踸ï) ©ÃdUÀtvzÀ À À À À À  À ¸ÀÆvÀUÀ¼À£ÀÄß C£Àé¬Ä¸À®Ä ºÉÆgÀlªÀgÀ°è ªÉÆzÀ°UÀ£ÁzÀ eÁeïð §Æ¯ï æ (£ÉÆÃr- §Æ¯ï, eÁeïð) JA§ EAVèµï vÀPÀð ªÀÄvÀÄÛ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛçdÕ£À ºÉ ¸ À j £À ° è F ©ÃdUÀ t  v À ¥À æ ¹ zÀ Þ ªÁVzÉ . §Æ°AiÀ Ä £ï ©ÃdUÀ t  v À UÀtÂvÀ¹zÁÞAvÀªÉÇAzÉà C®èzÉ E£ÀÆß C£ÉÃPÀ ªÁ¸ÀÛ«PÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼À°è CxÀð¥ÀÆjvÀªÁV C£ÀéAiÀĪÁVzÉ. S MAzÀÄ «±ÀéUÀtªÀÇ P(S) EzÀgÀ WÁvÀUÀtªÀÇ DVgÀ°. FUÀ A, B, C UÀ¼ÀÄ P(S) UÉ ¸ÉÃjgÀĪÀ AiÀiÁªÀ zsÁvÀÄUÀ¼ÁzÀgÆ ¸ÀAAiÉÆÃUÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ£À QæAiÉÄUÀ¼°è CªÀÅ ªÀÄÄAzÉ PÁt¹gÀĪÀ À À ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß K¥Àðr¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß »AzÉAiÉÄà £ÉÆÃrzÉÝêÉ. 1 AUB=BUA,A B=B A 2 A U φ = A, A S =A C) = (A U B) (A U C) 3 A U (B A

(B U C) = (A

B) U (A

C)

4 A U A’ =S, A A’ = φ FUÀ ªÉÄð£À ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß CªÀÄÆwÃðPÀj¸ÉÆÃt. B MAzÀÄ UÀtªÀ£Æß V ªÀÄvÀÄÛ À JA§ aºÉßUÀ¼Ä B AiÀÄ°è ªÁåTå¹gÀĪÀ À JgÀqÀÄ ¢éUÀÄt ¥ÀjPÀªÀÄðUÀ¼À£ÀÆß ¸ÀÆa¸À°. F ¥ÀjPÀªÀÄðUÀ¼ÀÄ B UÉ ¸ÉÃjzÀ Û À À À J®è zsÁvÀÄ a, b, c....UÀ½UÀÆ ªÀÄÄAzÉ ºÉýgÀĪÀ DzÀÄåQU¼£Äß ¥Á°¸ÀĪÀAwzÀÝgÉ B(v , ) JA§ ªÀ媸ÜÉ AiÀÄ£ÀÄß (¹¸ÀÖA) MAzÀÄ §Æ°AiÀÄ£ï ©ÃdUÀtvªAzÀÄ À  À É PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. 1 ªÀåvÀåAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ aVb=bVa a b=b a

2 V JA§ ¥ÀjPÀªÀÄðPÉÌ z JA§ MAzÀÄ KPÁA±ÀªÀÇ JA§ÄzÀPÉÌ u JA§ MAzÀÄ KPÁA±ÀªÀÇ B AiÀÄ°ègÀÄvÀÛªÉ. EªÀÅ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¥ÀvÉåÃPÀ. JAzÀgÉ æ a V Z =a, a

u =a, Z

u

3 ¥ÀwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀjPÀªÄðªÀÇ E£ÉÆßAzÀgÆA¢UÉ «vÀgt ¤AiÀĪÀĪÀ£Äß æ À É À À C£ÀĸÀj¸ÀÄvÀÛzÉ. a v (b c) = (a v b) (a v c) a (b v c)=(a b) v (a c) 4 B AiÀÄ ¥ÀwAiÉÆAzÀÄ zsÁvÀÄ a UÀÆ æ a v a’ = u ªÀÄvÀÄÛ a a’ = z DUÀĪÀAvÉ a’ JA§ MAzÀÄ zsÁvÀÄ BAiÀÄ°ègÄvÀÛz. À É

E°è ºÉýgÀĪÀ ¸À¤ßªÉñÀUÀ¼ÀÄ P(S) £À zsÁvÀÄUÀ¼ÁzÀ S £À ¸ÀªÀĸÀÛ G¥ÀUtUÀ¼Ä U ªÀÄvÀÄÛ À À ¥ÀjPÀªÄðUÀ½UÉ ºÉÃUÉ ºÉÆA¢PÉÆArªÉ JA§ÄzÀ£Äß À À UÀªÄ¤¸À¨ÃPÀÄ. z ªÀÄvÀÄÛ u UÀ¼Ä C£ÀÄPÀªÄªÁV φ ªÀÄvÀÄÛ s UÀ½UÉ C£ÀAiÀĪÁUÀÄvÀª.É À É À æ À é Û »ÃUÉ §Æ°AiÀÄ£ï ©ÃdUÀtÂvÀzÀ DzÀÄåQÛUÀ½UÉ ¸ÀjºÉÆAzÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÄÆvÀð ¥ÀwgÀÆ¥À (PÁAQæÃmï ªÀiÁqɯï) EgÀĪÀÅzÀjAzÀ ªÉÄð£À DzÀÄåQÛU¼À ¸ÀªÄƺÀ æ À À ¸ÀAUÀvÀªÁVzÉ. §Æ°AiÀÄ£ï ©ÃdUÀtvzÀ PÉ®ªÀÅ ªÀÄÄRå UÀÄtUÀ¼Ä. zÉéöÊvÀ vÀv÷é (¦æ¤¥¯ï  À À ÛÀ ì À D¥sï qÀÆåD°n): ªÉÄð£À DzÀÄåQU¼°è GzÀÝPÆÌ v ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀjPÀªÄðUÀ¼£Æß Û À À À À À À KPÁA±ÀUÀ¼ÁzÀ z ªÀÄvÀÄÛ u UÀ¼À£ÀÆß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀªÁV ªÀåvÀå¬Ä¹zÀgÉ ¥ÀÄ£ÀB EªÉà DzÀÄåQU¼£Äß ¥ÀqAiÀÄÄvÉêÉ. DzÀÝjAzÀ F PɼV£À ¥ÀªÄÃAiÀÄUÀ¼Ä zÉÆgÉAiÀÄÄvÀª.É Û À À À É Û À æ É À Û 1 §Æ°AiÀÄ£ï ©ÃdUÀtÂvÀzÀ AiÀiÁªÀ ¥ÀªÉÄÃAiÀÄzÀ¯Éèà DUÀ° v ªÀÄvÀÄÛ æ UÀ¼À£ÀÆß z ªÀÄvÀÄÛ u UÀ¼£Æß ¥Àg¸àÀgÀ ªÀåvÀå¬Ä¹zÀgÉ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ ªÁPÀåªÀÇ À À À MAzÀÄ ¸ÀvÀåªÁzÀ ¥ÀªÉÄÃAiÀÄ. æ a = a JA§ ªÀUÀð¸ÀªÀÄ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£ÀÄß 2 a v a = a ªÀÄvÀÄÛ a ¥ÀwAiÉÆAzÀÄ zsÁvÀĪÀÇ ¥Á°¸ÀÄvÀÛzÉ. æ z=z 3 a v u = u ªÀÄvÀÄÛ a 4 a (a v b) = a ªÀÄvÀÄÛ a v (a b) = a («°Ã£ÀPÀ ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÄÀ C¨Áì¥Àëð£ï ¯Á¸ï) 5 a v (b v c) = (a v b) v c ªÀÄvÀÄÛ a (b c) = (a b) c («vÀgÀt ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ) 6 zÀvÀÛ a UÉ C£Àé¬Ä¸ÀĪÀ a’ KPÉÊPÀªÁzÀÄzÀÄ. JAzÀgÉ a v a’ = u, a v a = u ªÀÄvÀÄÛ a a’ = z, a a = z DVzÀÝgÉ DUÀ a’’ = a’ 7 rªÀiÁUÀð£ï£À ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ : (a v b)’ = a’ b’ ªÀÄvÀÄÛ (a b)’ = a’ v b’ ªÁåSÉå : a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ B UÉ ¸ÉÃjzÀ zsÁvÀÄUÀ¼ÁVzÀÄÝ a v b = b DzÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ a < b (a AiÀÄÄ b VAvÀ aPÀÌzÀÄ) JAzÀÄ ªÁåTå¸ÄvÉêÉ. EzÀ£Äß B AiÀÄ C£ÀÄPÀªÄ ¸ÀA§Azsª£ÄßvÉêÉ. EzÀgÀ ¸ÀA§Azsz°è À Û À æ À À É À Û À À PÉ®ªÀÅ ¥ÀªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ §gÉ¢zÉ. æ 8 B AiÀÄ J®è a UÀ¼ÀÆ a<a, 9 a < b ªÀÄvÀÄÛ b < a DVzÀÝgÉ DUÀ a = b 10 a < b ªÀÄvÀÄÛ b < c DVzÀÝgÉ DUÀ a<c (ªÁºÀPÀ ¤AiÀĪÀÄ) 11 B AiÀÄ ¥ÀwAiÉÆAzÀÄ a UÀÆ z < a < u æ 12 a < x ªÀÄvÀÄÛ b < x DVzÀÝgÉ DUÀ (a v b( < x ¸ÀA§AzsÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ GvÀà£ÀßUÀ¼ÀÄ. 1 PÁnÃð¹AiÀÄ£ï UÀÄt®§ÞUÀ¼ÀÄ (PÁnÃð¹AiÀÄ£ï ¥ÁæqÀPïÖ÷ì): S ( φ ) ªÀÄvÀÄÛ T ( φ ) JgÀqÀÄ zÀvÀÛ UÀtUÀ¼ÁVgÀ°. FUÀ s ∈ S ªÀÄvÀÄÛ t ∈ T DVgÀĪÀAvÉ (s, t) gÀÆ¥Àz°ègĪÀ À À J®è PÀªÀÄAiÀÄÄPÀÛ zsÁvÀÄAiÀÄÄUÀäUÀ¼À£ÀÄß ¤«Äð¸ÉÆÃt. EªÀÅUÀ½AzÀ¯Éà PÀÆrgÀĪÀ æ UÀtªÀ£ÀÄß S ªÀÄvÀÄÛ T UÀ¼À PÁnÃð¹AiÀÄ£ï UÀÄt®§Þ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ; ºÁUÀÆ EzÀ£ÀÄß S X T JAzÀÄ ¤gÀƦ¸ÀÄvÉÛêÉ. S X T = {(s, t) | s ∈S ªÀÄvÀÄÛ t ∈T} GzÁºÀgÀuÉ : S = { 1, 2, 3, 4} ªÀÄvÀÄÛ T = {a, b, c} DVzÀÝgÉ DUÀ S X T = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c) } EzÀgÀ°è 4 X 3 = 12 zsÁvÀÄUÀ½ªÉ. »ÃUÉ S ªÀÄvÀÄÛ T UÀ¼ÀÄ ¸ÁAvÀ UÀtUÀ¼ÁVzÀÄÝ S £À°è m zsÁvÀÄUÀ¼ÀÆ T AiÀÄ°è n zsÁvÀÄUÀ¼ÀÆ EzÀÝgÉ DUÀ S X T AiÀÄ°è mn zsÁvÀÄUÀ½gÀÄvÀÛªÉ. »ÃUÉAiÉÄà S1, S2 , ......, Sn UÀ¼ÀÄ n C±ÀÆ£Àå UÀtUÀ¼ÁVzÀÝgÉ DUÀ {(s1, s2, ............., sn) | si ∈ si, = 1, 2, 3..............n} JA§

UÀtªÀ£ÀÄß s1, s2 ........., sn UÀ¼À PÁnÃð¹AiÀÄ£ï UÀÄt®§ÞªÉAzÀÄ