ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣತಿ 3.ಗೋಳತ್ರಿಬುಜ ABCಯ ಬುಜಗಳನ್ನು ಲಂಟನಾಗಿ ಆರ್ದಿಸುವ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು S ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪಾತಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 7). ಆಗ SA=SB=SC. ಆದ್ದರಿಂದ S ಬಿಂದ ದ್ರುವವಾಗಿಯೂ SA=SB=SC=R ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಆಲ್ಟ ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದರೆ ಆದು ABC ಪರಿವೃತ್ತ(ಸರ್ಕಮ್ ಸರಲ್) ಆಗುತ್ತದೆ. ABC ಕೋನಾರ್ದಕಗಳು ಕೂಡ ಸಂಪಾತಿಸುವುವಷ್ಟೆ. ಸಂಪಾತಬಿಂದು / ನಿಂದ /L,/M,/N ಕಂಸಗಳನ್ನು ಬುಜಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದರೆ /L=/M=/N ಆಗುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳ ಬೆಲೆ rಆಗಿರಲಿ. /ದ್ರುವವಾಗಿ r ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ ಇರುವ ಲಘುವೃತ್ತತ್ರಿಬುಜದ ಮೂರು ಬುಜಗಳನ್ನೂ ಸ್ಫಶಿರ್ಸುತ್ತದೆ. ಇದು ABCಯ ಒಳವೃತ್ತ. ಹೀಗೆಯೇ BC ಬುಜವನ್ನು ಒಳಗಡೆಯೂ AB, AC ಬುಜಗಳನ್ನು ಹೊರಗಡೆಯೂ ಸ್ಫರ್ಶಿಸುವ ಲಘುವೃತ್ತವನ್ನು ಕೂಡ ಎಳೆಯಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 8). ಇದು ತ್ರಿಬುಜದ ಒಂದು ಹೊರವೃತ್ತ. ಇದೇ ತೆರನ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಹೊರವೃತ್ತಗಳಿವೆ.
AB. AC ಬುಜಗಳನ್ನು ಮುಂದುವದಿಸಿದಾಗ ಆವು A ಗೆ ವ್ಯಾಸಾಬಿಮುಖವಾದ A' ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂದಿಸುತ್ತವೆ. ABC' ಮತ್ತು ACA' ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಇಂದುಕವನ್ನು (ಲ್ಯೂನ್) ರಚಿಸುತ್ತವೆ. ABC ಮತ್ತು A'BC ತ್ರಿಬುಜಗಳಿಗೆ ಸಹೇಂದುಕ (ಕೋಲ್ಯೂನಾರ್) ತ್ರಿಬುಜಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. A'BCಯ ಒಳವೃತ್ತ A'BCಗೆ ಹೊರವೃತ್ತವಾಗುತ್ತದೆ. 4 ಇತರ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದೆ. (a) ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ X,Y,Z ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ P ಬೇರೊಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ (sin BL sin CM in AN)/(sin LC sin MA sin NB) = Cos PX sin YZ = + cos PY sin ZX + cos PZ XY = 0 ಇಲ್ಲಿ YZ,ZX,XY ಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ್ಸ ದನ ಆಥವ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ZY=-YZ. (b)ABC ತ್ರಿಬುಜದ ಭೂಜಗಳನ್ನು ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ L,M,N ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂದಿಸಿದರೆ (ಇದು ಮೆನೆಲಾಸನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ.) (c)ABCD ಗೋಳೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದು ಲಘುವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಗೋಳದ ಮೇಲಣ ಒಂದು ಬಿಂದು P ಯಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶವೃತ್ತಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ P ಬಿಂದುವಿನ ಪಥ AB ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮಹಾವೃತ್ತ (ಚಿತ್ರ 10). ಇದಕ್ಕೆ ಲಘುವೃತ್ತಗಳ ಮೂಲಾಕ್ಷವೃತ್ತವೆಂದು (ರಾಡಿಕಲ್ ಸರ್ಕಲ್) ಹೆಸರು. ದತ್ತ ಲಘುವೃತ್ತ್ತಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂದಿಸಿದರೆ ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸತಕ್ಕ ಮಹಾವೃತ್ತವೇ ಮೂಲಾಕ್ಷವೃತ್ತ. ಮೂಲಾಕ್ಷವೃತ್ತದ ಹಾಗೂ ಸಹಮೂಲಾಕ್ಷ (ಕೋಆಕ್ಸಿಯಲ್) ವೃತ್ತ ಸಮುದಾಯದ ಗುಣಗಳನ್ನು ಸಮತಳಗಣಿತದ ವೈದಾನಗಳನ್ನನುಸರಿಸಿ ಅನೇಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. (e)ಸಮತಳ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಒಳವೃತ್ತವನ್ನೂ ಹೊರವೃತ್ತಗಳನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸತಕ್ಕ ಒಂದು ವೃತ್ತವಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ನವಬಿಂದು ವೃತ್ತ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗೋತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಒಳವೃತ್ತವನ್ನೂ ಹೊರವೃತ್ತಗಳನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸತಕ್ಕ ಒಂದು ಲಘುವೃತ್ತ್ತವಿರುತ್ತದ. ಇದಕ್ಕ ಹಾರ್ಟನ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹಾರ್ಟನ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ p ಮತ್ತು ಪರಿವೃವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ R ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ, tan P=1/2,1/2 tan R. (f)ಗೋಲತ್ರಿಭುಜದ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ O, ಮದ್ಯರೇಖಗಳ (ಮೀಡಿಯನ್ಸ್) ಸಂಪಾತಕೇಂದ್ರ G, ಹಾರ್ಟನ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ H, ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ O,H,G ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ಮೇಲಿರುವವು. 5. ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳ: ABC ಗೋಳತ್ರಿಭುಜದ ಕೋನಗಳ π ಗಿಂತ ಆದಿಕವೆಂದು ಗಮನಿಚಿದ್ದೇವೆ. A+B+C=π ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ತ್ರಿಭುಜದ ಗೋಳೀಯ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ (ಸ್ಪೆರಿಕಲ್ ಎಕ್ಸೆಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ R ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ABC ತ್ರಿಭುಜದ ಸಲೆ (A+B+C-π)R2. ಇದಕ್ಕ ಗಿರಾರ್ಡನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದುನ್ನುವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂಡ n ಭುಜಗಳಿರುವ ಗೋಳೀಯ ಬಹುಭುಜದ ಸಲೆ [∑-(n-2)π]R2 ಎಂದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ∑ ಬಹುಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ. ABCಯ ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು E ಎಂದು ಕರೆದರೆ E ಯನ್ನು ಕುರಿತ ಕೆಲವು ಉಕ್ತಿಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. sin 1/2 E = [sin s sin (s-a) sin (s-b) sin (s-c)]1/2
2 cos a/2 cos b/2 cos c/2
ಇದಕ್ಕೆ ಕಿಗ್ನೋಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಹೆಸರು.
tan 1/4 E=[tan1/2stan1/2(s-a)tan1/2(s-b)tan1/2(s-c)]1/2
ಇದಕ್ಕೆ ಲ್ವಿಲಿಯರನ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಭುಜದ ಭುಜಗಳು ದತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಗೋಳೀಯ ಹೆಚ್ಚಳ ನಿರ್ದರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
L = [cot1/2 stan1/2 (s-a) tan1/2 (s-b) tan1/2 (s-c)]1/2
ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಮೇಲಣ ಉಕ್ತಿಯನ್ನು tan1/4 E = L/cot s/2 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಹೀಯೇ tan 1/4 (2A-E) = L/tan 1/2 (s-a) ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ
L = [tan1/4 Etan1/4(2A-E) tan1/4(2B-E) tan1/4(2C-E)]1/2\
