ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನ
ಟಾಪಾಲಜೇಯ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದ ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ Aಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ ಟಾಪಾಲಜೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತವೆ.
ಹೀಗೆ A ಮತ್ತು B ಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವಿಕೆ ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದು ಟಾಪಾಲಜೀಯ ಲಕ್ಷಣ. ಹಿಟ್ಟಿನಿಂದ ಮಾಡಿದ ಒಂದು ಮಿದುವಾದ ಗೋಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಚಿತ್ರ(೧೫)ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಯಾವುದಾದರೊ ರೊಪಕ್ಕೆ ಈ
ಗೋಳವನ್ನು ಮುರಿಯದೇ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಒಂದು ಟಾಪಾಲಜೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ಗೋಳವನ್ನು ಒಂದು ಘನವನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಈಗ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಅಂಚುಗಳಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಘನಕ್ಕೆ ಅಂಚುಗಳಿವೆ. ಅಂಚುಗಳಿರುವುದು ಅಥವಾ ಅಂಚುಗಳಿಲ್ಲದಿರುವುದು ಟಾಪಾಲಜೀಯ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಲಕ್ಷ್ಣಣಗಳು ಬದಲಾಗಿವೆ. ಮೇಲಿನ ಯವುದೇ ಆಕೃತಿ ಮತ್ತು ಗೋಳ ಟಾಪಾಲಜೀಯವಾಗಿ ಸಮವಾಗಿವೆಯೆಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು,ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನೋಂದಕ್ಕೆ ಟಪಾಲಜೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯಿಂದ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಅಂಥ ವಸ್ತುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಮಿಯೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಅನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಇಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಏಳುತ್ತದೆ: ಯಾವುದಾದರೊ ಒಂದು ವಸ್ತೊವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವ ಇರುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ? ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ಹೌದು,ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿ (ಚಿತ್ರ ೧೬)
ಇದೊಂದು ಅಯತಾಕಾರದ ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿ ABCD. ಇದರಲ್ಲಿ D ಬಿಂದು Bಯೊಂದಿಗೆ Cಬಿಂದು Aಯೊಂದಿಗೆ ಐಕ್ಯವಾಗುವಂತೆ CD ತುದಿಯನ್ನು ABತುದಿಯ ಮೇಲೆ ಅಂಟಿಸಬೇಕು. ಈ ಆಕ್ರಿತಿಗೆ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವವಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುವುದು ಬಹಳ ಸುಲಭ.ಪಟ್ಟಿಯ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೊ ಒಂದು ಬಿಂದು ಆಗಿರಲಿ. ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹೋದರೆ ಕೋನೆಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಪಟ್ಟಿಯ ಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೊ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇನ್ನೊಂದು ಪಟ್ಟಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ
ಬಂದು ಸೇರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗೆ ದ್ವಿಪಾರ್ಶ್ವ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಇದ್ದಿದ್ದರೆ E ಬಿಂದುವನ್ನೊ ಅದು ಇರುವ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿಯೇ ತಲುಪಬೇಕಾಗಿದ್ದಿತು. ಇದೇ ರೀತಿ ಏಕಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ಇರಿವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂವೃತ ಸಹ ಆಗಿರುವ ಆಕೃತಿಗೆ ಕ್ಲೈನ್ ಕುಪ್ಪಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಅಗಿದೆ. ಎರಡು ಮೋಬಿಯಸ್ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಭುಜಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಅಂಟಿಸುವುದರಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ ಆಕೃತಿಯೇ ಕ್ಲೈನ್ ಕುಪ್ಪಿ ಚಿತ್ರ ೧೭.
6.ಬೀಜಗಣಿತ : 19ನೆಯ ಶತಮಾನ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಚಿಂತನೆಯ ಚೌಕಟ್ಟು ಲಭಿಸಿತಲ್ಲದೆ ಅ ಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಅತೀವವಾದ ಬೆಳವಣೆಗೆ ಉಂಟಾಯಿತು. ಒಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಈ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆರೋಗ್ಯಕರವಾದ ಪ್ರೌಢಿಮೆಯನ್ನುಗಳಿಸಿ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಮುಂದಿನ ಗತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿಕೊಂಡು.19 ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಸರವನ್ನು ಬೆಳೆಸಿ ಅದರಿಂದ ಉಂಟಾದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಆಧುನಿಕ್ಕ ಬೀಜಗಣಿತ(ಮಾಡರ್ನ್ ಅಲ್ಜಿಬ್ರ) ಎಂದು ಕರೆಯುವ ವಾಡಿಕೆ ಇತ್ತು. ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಗವಾಗಿ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೇರಿಕೊಂಡಿದೆ .19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಆಧುನಿಕ ಅಗಿದ್ದಿತೇ ವಿನಾ ಇಂದು ಆಧುನಿಕ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಕೇವಲ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಸಿಕೊಳ್ಳುವಷ್ಟು ಹಳೆಯದಾಗಿದೆ .ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದರೆ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು . ಜಾರ್ಜ್ ಪೀಕಾಕ್ (೧೭೯೧-೧೮೫೮), ವಿಲಿಯಂ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ (೧೮೦೫-೧೮೬೫), ಅರ್ಥರ್ ಕೇಲೀ (೧೮೨೧-೧೮೯೫), ಸಿಲ್ವಿಸ್ಟರ್ (೧೮೧೪-೧೮೯೭), ಚಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ (೧೮೧೫-೧೮೬೪) ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಲ್ವ (೧೮೧೧-೧೮೩೨) ಇವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ರಾಂತಿ ಪುರುಷರು, ಋಣಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬೆಲೆ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಅಪರಾಧವೆಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತಿದ್ದ ಕಾಲವದು. ಹೊಸ ಚಿಂತನೆಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸದೆ ಹಳೆಯದಕ್ಕೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ಬಲವಾಗಿ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಂದ ಕೊಡಿದ ವಾತಾವರಣವಿತ್ತು. ಅಂಥ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೀಕಾಕ್ ಕೇಂಬ್ರಿಜಿನ ಟ್ರಿನಿಟಿ ಕಾಲೇಜಿನ ಅಧಿಕಾರವರ್ಗದಲ್ಲಿದ್ದು ಕೊಂಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಶ್ರಮಿಸಿದ. ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಅನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರ
