ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವ

     ಮೂಲದೊಡನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ

ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವ : ಅನಿಶ್ಚಿತ ಅಳತೆ: ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ದ, ತೂಕ, ವೇಗ ಇತ್ಯಾದಿ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬೇಕಾಗುವುದು. ಅಳತೆಯ ಉಪಕರಣದಿಂದಲೂ ಪ್ರಯೋಗಕಾರನ ಅಥವಾ ವೀಕ್ಷಕನ ದೋಷಗಳಿಂದಲೂ ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ಲೋಪ

ಉಂಟಾಗುವುದು. ಒಂದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅಳೆದಾಗ ದೊರೆವ ಬೆಲೆಗಳು ಇಂಥ ಲೋಪಕ್ಕೊಳಗಾಗಿ ವಾಸ್ತವಿಕ ಬೆಲೆಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವುವು. ಇಂಥ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಾಸ್ತವಿಕವಾದ ಬೆಲೆ ಏನೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ? ಶತಮಾನಗಳ ಹಿಂದೆಯೇ

ಆಕಾಶಕಾಯಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ದೂರದರ್ಶಕ ಮುಂತಾದ ಉಪಕರಣಗಳಿಂದ ವೀಕ್ಷಿಸುವಲ್ಲಿ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಮುಂದೆ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆ ತಲೆದೋರಿತು. ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವ (ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಅಫ್ ಲೀಸ್ಟ್‌ ಸ್ಕ್ವೇರ್) ರೂಪುಗೊಂಡಿತು. ಟಿ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳನ್ನು x1,

x2, .................., xಟಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಅಳತೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ xನ ವಾಸ್ತವಿಕ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜುಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಟಿ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ x1-ಚಿ, x2-ಚಿ,........., xಟಿ-ಚಿ ಇವುಗಳಿಗೆ ಟಿ ಯಿಂದ x1,

x2, ...........,xಟಿ ಗಳ ವಿಚಲನೆಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇವುಗಳ ವರ್ಗಸಂಕಲನ ಕನಿಷ್ಠತಮವಾಗುವಂತೆ ಆಯ್ದುಕೊಂಡ ಚಿಯ ಬೆಲೆಯೇ ಉತ್ತಮವಾದ ಅಂದಾಜಾಗುವುದು ಎಂಬುದೇ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ವಿಚಲನೆಗಳ ವರ್ಗಸಂಕಲನ ಆಗುವುದು. ಇದರ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಚಿಯನ್ನು ಕುರಿತ ಇದರ ನಿಷ್ಪನ್ನವನ್ನು (ಡಿರೈವೆಟಿವ್) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ ಬರುವ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಚಿಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಬೇಕು; ಅಂದರೆ

ನಿಷ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗಣಿಸಿ ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಈ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬ ರೂಪವನ್ನು ತಳೆಯುವುದು. ಬಿಡಿಸಲು ಅಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ x1, x2,......,xಟಿ ಗಳ ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಕ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಬೆಲೆ ಆಗುವುದು. ಎರಡು ಚರಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ : ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ x,ಥಿ ಎಂಬ ಎರಡು ಚರಗಳ ಕೆಲವು ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಅವೆರಡರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಗಣಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗೊತ್ತು ಹಚ್ಚಬೇಕಾದೀತು. ಈ ಚರಗಳ ಸಂವಾದೀ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು ದೊರೆತಿವೆ ಎಂದಿಟ್ಟು ಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಇವು ಅಳತೆಯ ಲೋಪ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಈಡಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಚರಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಗೊತ್ತು ಹಚ್ಚಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ತಕ್ಕ ಪ್ರಯೋಗತಂತ್ರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳ ಬೇಕಾಗುವುದು. ಚರಗಳ ಅವೇಕ್ಷಣೆ ಗಳು (x1,ಥಿ1) (x2,ಥಿ2), . . . . .

. . . . . . . . . .(xಟಿ,ಥಿಟಿ) ಆಗಿರಲಿ. ಇವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳ ಅವೇಕ್ಷಣಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿ ಆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿದರೆ ದೊರೆವ ಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಚದರಾವಣಿ ಚಿತ್ರ (ಸ್ಕಾಟರ್ ಡಯಾಗ್ರಂ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಚಿತ್ರದ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ x,ಥಿಗಳಿಗೆ

ಯಾವ ವಿಧವಾದ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಥಿ=ಚಿ+bx ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವುದೆಂತು, ಅಲ್ಲದೆ ಅಂಥ ಹಲವಾರು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದಲ್ಲವೆ,

ಯಾವ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುಸೂಕ್ತವಾಗಿರುವುದೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು-ಇವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠತಮವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಥಿ=ಚಿ+bx ಎಂಬುದು ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಾದರೆ, ಉಕ್ತರೇಖೆಯನ್ನು ದತ್ತ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಹಾಳಿತವಾಗಿ ಪೊರ್ದಿಸಬೇಕು (ಫಿಟ್). xನ ಬೆಲೆ xi ಅದಾಗ ಥಿಯ ಬೆಲೆ ಚಿ+bxi ಆಗಬೇಕು. ಥಿಯ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆ ಥಿi ಆಗಿದ್ದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ವಿಚಲನೆ ಥಿi –

(ಚಿ+bxi) ಆಗುವುದು. ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವದ ಮೇರೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠತಮವಾಗಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಚಿ,b ಗಳನ್ನು ಕುರಿತು Sನ ಆಂಶಿಕ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳು (ಪಾರ್ಷಲ್ ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್‌) ಶೂನ್ಯವಾಗಬೇಕು: ಅಂದರೆ . ಇವುಗಳಿಂದ

	. . . (1)
	. . . (2)

ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆಯುವುವು. ಇವಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ (ನಾರ್ಮಲ್) ಸಮೀಕರಣಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಇವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲಾಗಿ ದೊರೆವ ಚಿ ಮತ್ತು b ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠತಮವರ್ಗ ಬೆಲೆಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. (1)ನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಟಿ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಥಿ´=ಚಿ+bx´ …………..(3) ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣ ದೊರೆಯುವುದು. ಇಲ್ಲಿ x´,ಥಿ´ಗಳು x,ಥಿ ಗಳ ಸಮಾಂತರ ಮಧ್ಯಕಗಳು. ಅಂದರೆ x,ಥಿ ಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುವ ಸರಳರೇಖೆ (x´,ಥಿ´) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ: ಮತ್ತು ಚಿ=ಥಿ´-bx´ ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಥಿ-ಥಿ´=b(x-x´) ಚಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗೂ xನ ಬೆಲೆ ದತ್ತವಾದಾಗ ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಥಿಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಹಾಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗಣಿಸಿದ ಬೆಲೆಗೂ ಥಿನ ಅವೇಕ್ಷಿತ ಬೆಲೆಗೂ ಇರುವ ವಿಚಲನೆಯನ್ನು ಥಿ-ಥಿ´=-b(x-x´) ಎಂದು

ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ ವಿಚಲನೆಗಳ ವರ್ಗಸಂಕಲನ

ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸಿದರೆ xಗೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು

ಅಂಶವನ್ನೂ ಛೇದವನ್ನೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಟಿನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ x, ಥಿ ಗಳ ಸಹಚರತ್ವ (ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್‌) s xಥಿ ಮತ್ತು ಚರತ್ವ (ವೇರಿಯನ್ಸ್‌) sx2 ದೊರೆಯುವುವು. ಅಗ ಮೇಲಿನ ಸಾಮ್ಯ ಎಂಬ ರೂಪಕ್ಕಿಳಿಯುವುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಗದ್ದೆಗಳಿಗೆ ಹಾಕಿದ ರಾಸಾಯನಿಕ ಗೊಬ್ಬರ x ಚೀಲಗಳು ಮತ್ತು ಬೆಳೆಯುವ ಪ್ರಮಾಣ ಥಿ ಮಣಗಳು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ಇವುಗಳ ಸಂವಾದಿ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾಳಿತವಾದ ಸರಳ

ರೇಖೆಯನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸಿ ಥಿ ಯನ್ನು x ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬೇಕು. x: 10 12 10 11 15 14 15 13 ಥಿ: 85 93 90 94 95 92 100 95 ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸುಗಮವಾಗಿಸಲು ಘಿ=x-10, ಮತ್ತು ಙ=ಥಿ-90 ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಘಿ, ಙಗಳ ಸಂವಾದಿ ಬೆಲೆಗಳು ಹೀಗಿರುವುವು- ಘಿ : 0 2 0 1 5 4 5 3 ಙ: -5 3 0 4 5 2 10 5 ಙ=ಚಿ+bಘಿ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಕನಿಷ್ಠತಮವರ್ಗ ತತ್ತ್ವದ ಮೇರೆಗೆ ಚಿ,b ಗಳ ಕೆಳಕಾಣಿಸಿದ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆಯುವುವು: 8ಚಿ+20b=24, 28ಚಿ+80b=112 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲಾಗಿ . ಕನಿಷ್ಠತಮವರ್ಗತತ್ತ್ವದ ಮೇರೆಗೆ ಪೊರ್ದಿಸಿದ ಸರಳರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಆಗುವುದು. ಇದನ್ನೇ x,ಥಿ ಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ

ಆಗುವುದು. ಅಂದರೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಅಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣದ ಗೊಬ್ಬರವನ್ನು ಹಾಕಿದಾಗ ಎಷ್ಟು ಬೆಳೆಯನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂದಾಜು ಸಹ ಸಿಗುವುದು. ಈಗ 12ಳಿ ಚೀಲದಷ್ಟು ಗೊಬ್ಬರವನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಬೆಳೆ

ಅಂದರೆ 93 ಚೀಲಗಳಷ್ಟು ಬೆಳೆ ಸಿಗುವ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಇದೆ. ಕಾಲಸರಣಿಯ ಪೊರ್ದಿಕೆ: ಕಾಲಸರಣಿಯ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸರಳೋಪಾಯಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು

ವಿಶದಪಡಿಸಬಹುದು. ಭಾರತದೇಶದಲ್ಲಿ ಚಹ ಎಲೆಯ ಉತ್ಪತ್ತಿಯ ಕೋಷ್ಪಕವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಷಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು (ಕೋಟಿ ಪೌಂಡುಗಳಲ್ಲಿ) ಥಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಥಿ=ಚಿ+bx ಎಂಬ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ದತ್ತ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಹಾಳಿತವಾಗಿ ಪೊರ್ದಿಸಬೇಕು. 1957ನೆಯ ಇಸವಿಯನ್ನು ಕಾಲ ಮಾನದ

ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಸೊನ್ನೆಯಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಎಂಬ ಬೀಜಸೂತ್ರದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೇಗೆಂದರೆ, 12+22+...+52=55.x ನ ಋಣ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಹ 55

ದೊರೆಯುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಗುವುದು. ಕೋಷ್ಟಕ 1. ಭಾರತ ದೇಶದಲ್ಲಿ ಚಹಾ ಎಲೆಯ ಉತ್ಪತ್ತಿ (ಕೋಟಿ ಪೌಂಡುಗಳಲ್ಲಿ) ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತ್ತ್ವದಂತೆ ಚಿ,b ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗಿರುತ್ತವೆ. 11ಚಿ=760.5 ಮತ್ತು 110b=165.71 ಇವು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾದ ಎರಡು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಅವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲಾಗಿ, ಚಿ=69.136, b=1.506 ಆಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹಾಳಿತವಾಗಿ ಪೊರ್ದಿದ ಸರಳರೇಖೆ ಥಿ=69.136+1.506ಘಿ. ಇದರಲ್ಲಿ ಘಿ ಎಂಬುದು 1957ರಿಂದ ಎಣಿಸಿ ಬಂದ

ವರ್ಷಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಅಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿವರ್ಷಕ್ಕೂ ಒಂದೊಂದು ಬೆಲೆ ದೊರೆಯುವುದು. ಥಿಯ ಈ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿದ ಬೆಲೆಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇವನ್ನು ಥಿ’ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ಕೋಷ್ಟಕದ 6ನೇ ಸ್ತಂಭದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ

ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದಮೇಲೆ 1963ನೆಯ ಇಸವಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆ 78.176 ಕೋಟಿ ಪೌಂಡುಗಳಾಗುವುವು. ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು: ಕ್ರಮಾಗತವಾಗಿ ಎಲ್ಲ ವರ್ಷಗಳಿಗೂ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು ದತ್ತವಾದಾಗ ಈ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬಹುದು. ಮದ್ಯೆ ಯಾವುದಾದರೂ ತೆರಪಿದ್ದರೆ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೀಗೆ ಬೇರ್ಪಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಸವಲ್ಲದೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮಾಡಬೇಕಾದೀತು. 1953ರಿಂದ 1962ರ ವರೆಗಿನ 10 ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು ಮಾತ್ರ ದತ್ತವಾದಾಗ ಮೂಲಬಿಂದುವನ್ನು 1957 ಮತ್ತು 1958ರ ಮಧ್ಯೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ

ವರ್ಷವನ್ನು ಏಕಮಾನವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಗಣನೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಈ ಅಳತೆಯನ್ನು ಘಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಥಿ=ಛಿ+ಜಘಿ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ 10ಚಿ=699.1 ಮತ್ತು 330b=246.3 ಎಂಬ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಕೋಷ್ಟಕ 2. ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಚಹಾ ಎಲೆಯ ಉತ್ಪತ್ತಿ (ಕೋಟಿ ಪೌಂಡುಗಳಲ್ಲಿ) ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ಛಿ=69.91 ಮತ್ತು ಜ=0.747. ಆದ್ದರಿಂದ ಪೊರ್ದಿಸಿದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಥಿ=69.91+0.747ಘಿ (ಘಿಅರ್ಧ ವರ್ಷಗಳು) ಪುರ್ಣ ವರ್ಷದ ಮಾನದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನೇ x ಎಂದು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಬರೆದರೆ ಥಿ=69.91+1.494x ಎಂದಾಗುವುದು. ಈ

ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ 1963ರಲ್ಲಿ ಚಹಾ ಎಲೆಯ ಉತ್ಪತ್ತಿ 78.127 ಕೋಟೀ ಪೌಂಡುಗಳೆಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ಯರಾಬೊಲದ ಪೊರ್ದಿಕೆ: ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಒತ್ತಾಗಿ ಪೊರ್ದಿಸಬೇಕಾಗುವುದು. x,ಥಿಗಳ ಸಂಬಂಧ ಥಿ=ಚಿ+bx+ಛಿx2 ಎಂಬ ಪ್ಯರಾಬೊಲೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದೆಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಕ್ರಮವನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸಿ

ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗತತ್ತ್ವದ ಮೇರೆಗೆ

ಎಂಬ ಮೂರು ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆಯುವುವು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಚಿ, b, ಛಿ ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಚಹಾ ಎಲೆಯ ಉತ್ಪತ್ತಿಯ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಚಿ, b, ಛಿ ಗಳಿಗೆ ಈ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. (ಕೋಷ್ಟಕ1) 11ಚಿ+110ಛಿ=760.5 110b =165.7 110ಚಿ+19.58ಛಿ=7580.5 ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಿ=68.85, ಛಿ=-0.2856; ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನಂತೆಯೇ b=1.506. ಕಾಲಾಮಾನದ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಫಲವಾಗಿ ಥಿ=ಚಿ+bಛಿ ಎಂಬ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸುವಾಗ b ಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಲು ದೊರೆತ 110b=165.7 ಎಂಬ ಸರಳ

ಸಮೀಕರಣವೇ ಈಗಲೂ ದೊರೆಯುವುದೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದರಿಂದಾಗಿ b ಬೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕನಿಷ್ಠತಮ ವರ್ಗ ತತ್ತ್ವದಂತೆ ಪೊರ್ದಿಸಿದ ಪ್ಯರಾಬೊಲದ ಸಮೀಕರಣ ಥಿ=68.85+1.506x-0.0286x2 ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ

ಪ್ರಕಾರ 1963ರಲ್ಲಿ ಚಹಾ ಎಲೆಯ ಉತ್ಪತ್ತಿಯ ಅಂದಾಜು 76.856 ಕೋಟಿ ಪೌಂಡುಗಳು. ಪೊರ್ದಿಕೆಯ ಹಾಳಿತ (ಗುಡ್ನೆಸ್ ಆಫ್ ಫಿಟ್) : ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧವಾಗಿ ಗಣನೆ ಮಾಡಿ ಪೊರ್ದಿದ ರೇಖೆ ದತ್ತ ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಹಾಳಿತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಹೇಳಬಹುದು. x2 ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು

ನೀಡಬಹುದು. ದತ್ತ ಬೆಲೆ ಥಿ ಇದ್ದು ಗುಣಿಸಿ ಬಂದ ಅಂದಾಜಿನ ಬೆಲೆ ಥಿ´ ಇದ್ದರೆ ಆಗುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಕೈ ವರ್ಗ (ಘಿ2) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಪೊರ್ದಿಕೆಯ ಹಾಳಿತದ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಈ ಬೆಲೆಯ ಸಂಭವತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಒಟ್ಟು ಅವೇಕ್ಷಣೆಗಳು ಟಿ ಇದ್ದರೆ,

ಸ್ವತಂತ್ರತೆಯ ದರ್ಜೆ (ಡಿಗ್ರೀಸ್ ಅಫ್ ಫ್ರೀಡಂ) ಟಿ-1 ಆಗುವುದು. ಇದಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಘಿ2 ನ ಸಂಭವತೆ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಬೆಲೆ 1ಕ್ಕೆ ಸಮೀಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಪೊರ್ದಿಕೆ ಹಾಳಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಪ್ರಸಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಘಿ2=0.3390; ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರತೆಯ

ದರ್ಜೆ 9. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ P (ಸಂಭವತೆ)=0.9994. ಇದರಿಂದ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಪೊರ್ದಿಸಿರುವುದು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ. ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪೊರ್ದಿಕೆ (ಎಕ್ಸ್ಲಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಿಟ್). ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ-ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ -ಥಿ ಚರ xನ ಘಾತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಕನಿಷ್ಠತಮವರ್ಗತತ್ತ್ವವನ್ನು ಇಂಥ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ

ಪ್ರತಿಘಾತಗಳನ್ನು (ಲಾಗರಿತಂಸ್) ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ರೇಖೀಯ ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ಬೊಲೀಯ ಸಂಬಂಧ ಸಿದ್ಧಿಸುವುದು. ಹೇಗೆಂದರೆ ಥಿ=ಚಿbx ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವಿದ್ದಾಗ ಪ್ರತಿಘಾಗಳನ್ನು ತೆಗೆದರೆ ಟog ಥಿ=ಟog ಚಿ+x+x ಟog b ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಒದಗುವುದು. ಆಗ

ಙ=ಟog ಥಿ, ಃ=ಟog b, ಂ=ಟog ಚಿ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದರೆ ಙ=ಂ+ಃx ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು. ಕನಿಷತಮ ವರ್ಗ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ ಂ,ಃ ಗಳ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತರುವಾಯ ಚಿ, b ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಬಹುದು. ಕೋಷ್ಟಕ 3. ದೇಶದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳೆವಣಿಗೆ ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 1931ರಿಂದ ಆನಸಂಖ್ಯೆ ಐog ಥಿ ವರ್ಷ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ (ಕೋಟಿ) ಘಿ ಙ x ಘಿ ಥಿ =ಙ 1 2 3 4 5 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ 1901 -3 3.8 0.5911 -1.7733 1911 -2 5.3 0.7243 -1.4486 1921 -1 7.3 0.8633 -0.8633 1931 0 9.6 0.9823 ...... 1941 1 12.9 1.1106 1.1106 1951 2 17.1 1.2330 2.4660 1961 3 23.2 1.3655 4.0965 ಮೊತ್ತ 0 6.8901 3.5879 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ದೇಶದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ 3ನೆಯ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವಂತಿದೆ ಎನ್ನೋಣ. ಕಾಲಮಾನವನ್ನು x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಥಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಥಿ=ಚಿbx ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ಚಿ, b ಗಳನ್ನು ಕಂಡು

ಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಮಾಡಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 1931ನೆಯ ಇಸವಿಯನ್ನು ಮೂಲವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ದಶಕವನ್ನು ಏಕಮಾನವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅಳೆಯುವ ಕಾಲ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಘಿ ಎನ್ನುವ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ . ಂ, ಃ ಗಳ ಪ್ರಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಇಂತಿವೆ: 7ಂ=6.8701; 28ಃ=3.5879. ಬಿಡಿಸಲು ಂ=0.9814; ಃ=0.12814 ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿ=9.581 ಮತ್ತು b=1.343 ಪೊರ್ದಿದ ಘಾತಚಲನ . ಇಲ್ಲಿ x ನ್ನು 1931ರಿಂದ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ

ಅಳೆಯ ತಕ್ಕದ್ದು. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದ ಜನಸಂಖ್ಯೆ 9.581 x (1.343)4 ಅಥವಾ 31.18 ಕೋಟಿ. ಇದೇ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ ಥಿ=ಚಿxb ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಈಚೆಗೆ

ಕನಿಷ್ಠತಮವರ್ಗತತ್ತ್ವದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಸ್ತರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. (ಎಂ.ಪಿ.ಜಿ.)