ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಸಾಧಿಸುತ್ತೇವೆ. MN=LP ಆದಾಗ = ಆಗುವುದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ [16]ರ ಸತ್ಯತೆ ಸುಸ್ಪಷ್ಟ. ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ h,j,k ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯೆಮಾಡೋಣ:
(MN=LP ಸಂದರ್ಭ ಈಗಾಗಲೇ ಇತ್ಯರ್ಥವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ MN LP ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.) ಈಗ ಕೆಳಗೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು:
ಆಗಿದ್ದರೆ
-qPMS(h)=y(A-qMNh - )
+y(A-[qMN+1]h - )+....+y(A-
[qLP-1]h - );
MN>LP
ಆಗಿದ್ದರೆ
ಇವುಗಳಿಂದ S(j)-S(k)=S(h) ಅಥವಾ s*(h) ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗುವುದು. n ಯಾವುದೇ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. q ವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಅಧಿಕವಾಗಿರುವಂತೆ ಆಯ್ಕೆವಾಡಿದಲ್ಲಿ S(j)-F( )
S(k)-F( ),S(h)- hy(t)
ಹಾಗು S(h)- hy(t) ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಮತ್ತು ಗಳ ಇರುವುವೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಮರಿಸಿಕೊಂಡರೆ
[F( )-F( )- hy(t)]
ಎಂಬ ಪರಿಣಾಮ ಮತ್ತು ಗಳ ನಡುವೆ ಇರಬೇಕೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಮಾಣ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ
ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಗಳು ಧನ ಪರಿಮೇಯವಾಗಿರುವಾಗ ಸ್ಥಾಪಿತವಾದಂತಾಯಿತು. ಈಗ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗಳು ಯಾವುದಾದರೂ ನಾಲ್ಕು ಪರಿಮಾಣಗಳಾದಾಗ
ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದಷ್ಟೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚೇನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ
ಆಗುವಂತೆ
ಒಂದು ಅನುರೂಪ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.ಅಲ್ಲದೆ ಗೆ ಮೇರೆಯಿರುವುದರಿಂದ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ ಆಗುವಂತೆ ಒಂದು ಸ್ತಿರ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತರ್ಕಲೋಪವಿಲ್ಲದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಆಗ ಸಮೀಕರಣ ರ ಸಹಾಯದಿಂದ
ಆದಾಗ
ಎಂದು ಸಿದ್ದಪಡುವುದು ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗಳು ಯಾವುದೇ ಎರಡು
ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಲಿ ಆಗುವಂತೆಯೂ ಮತ್ತು ಗಳು ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗುವಂತೆಯೂ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯ ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಥ ಗಳ ಆಯೆಗೆ ಅಸಮತ್ವ ರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು ಕೂಡ ಆಗುವುದರಿಂದ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೊನೆಯ ಅಸಮತ್ವದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಪದ ಮತ್ತೆ ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಗಳು ಧನ ಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಲಿ ಬಿಡಲಿ
ಎಂದು ಸಿದ್ದಪಡುವುದು ಅಂದವೇಲೆ ಸಮೀಕರಣ ಅಂತರದೊಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಬಗೆಯ ಗಳಿಗೂ ಸತ್ಯವೆಂದಾಯಿತು. ಸಮಾಸಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು (ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಥಿಯರಂ) ಪ್ರಸಿದ್ದವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪಾದಿಸಲು ಈಗ ನಾವು ಸಿದ್ದರಾಗಿದ್ದೇವೆ. ಏಕರೀತ್ಯಾ ಅವಿಚಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಯಂಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಮತ್ತೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪೂರ್ವಾರ್ಧದ ಸಾರಾಂಶ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನದ ಏಕರೀತಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಗುವುದು:
ಇದನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು
ಮತ್ತು ಆದಾಗ
