ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ಚಮತ್ಕಾರಿಕ, ನಿಗೂಢ ಸಮಸ್ಯೆ ಹಾಗೂ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಬಿಡುಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿತ್ತು. ಆದರೆ ಈಗ ಇತರ ಹಲವಾರು ಜ಼ಾನಶಾಖೆಗಳೊಡನೆ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂದವೇರ್ಪಟ್ಟು ಇತರ ಬೆಳವನಿಗೆಗೆ ಅಸಾಧಾರಣವಾದ ಕುಮ್ಮಕ್ಕು ಲಬಿಸಿದೆ.
ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಲಸುವ ಪದ ಗ್ರಾಫ್ ಗೂ (ಆಲೇಖ) ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಜ಼ಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಥರ್ವಿಸುವ ಅದೇ ಪದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗ್ರಾಒಹ್ ಎಂದರೆ ಕೇವಲ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಸಮುದಾಯ ಹಾಗು ಅವುಗಳಿಂದ ಗ್ರಾಫ್ ಪಾದವೇ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದುಕೊಂಡಿವೆ.
ಗ್ರಾಫ್ ಪದದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಕಬ್ಬಡಿ ಆಟ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೊಣ. ಇದರಲ್ಲಿ A,B,C,D,E,F ಹಾಗು G ತಂಡಗಳು ಭಾಗವಹಿಸಿರಲಿ. ಪಂದ್ಯಗಳು ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಕೆಲವು ದಿವಸಗಳ ಬಳಿಕ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಧಿತಿ ಇರಲಿ.
A ತಂಡ B ತಂಡದೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ.
B ತಂಡ C,D,E ತಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ.
C ತಂಡ B,D ತಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ.
D ತಂಡ B,C,E,F ತಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ.
E ತಂಡ A,D,F ತಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ.
F ತಂಡ D,E ತಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ.
G ತಂಡ ಯಾವ ತಂಡದೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿಲ್ಲ.
ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ರೇಖೇಗಳನ್ನು ಎಳೆದು ಕಾಣಿಸಿದೆ.
ಎರಡು ತಂಡಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವ ಒಂದು ರೇಖೆ ಅವೆರಡೂ ಪರಸ್ಪರ ಆಟವಾಡಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆA ತಂಡ B ತಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ, B ತಂಡ C,D,E,A ತಂಡದೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡಿದೆ ಎಂದೂ G ತಂಡ ಯಾವ ತಂಡದೊಡನೆಯೂ ಆಟವಾದಿಲ್ಲ ಎಂದೂ ಚಿತ್ರದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿಯಬಹುದು ಇಂಥ ಆಕೃತಿಯೇ ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಗ್ರಾಫ್. ಇದು ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವನ್ನು ಕೂಡಿಸುವ ರೆಖೆಗಳ ಸಮುದಾಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮೇಲಿನ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ A,B,C,D,E,F,G ಗಳಿಗೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಶೃಂಗಗಳೆಂದೂ AB,BC,CD,DE,EF,BD ಗಳಿಗೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಅಂಚುಗಳೊಂದೂ ಹೆಸರು. ಗ್ರಾಫಿನ ಅಂಚುಗಳು ಸರಳವಾಗಿರಬೇಕೆಂದಿಲ್ಲ. ಅವು ವಕ್ರರೇಖೆಗಳೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಒಂದನ್ನೊಂದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಅಂಥ ಛೇದಕ ಬಿಂದು ಶೃಂಗವಲ್ಲ AB ಅಂಚಿನ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಆ ಅಂಚಿನ ಕೊನೆ ಶೃಂಗಗಳು(ಎಂಡ್ ವಟಿರ್ಸಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. AB ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ A ಶೃಂಗ ಸಂಲಗ್ನವಾಗಿದೆ(ಇನ್ಸಿಡೆಂಟ್) ಎಂದೂ AB ಅಂಚು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಲಗ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸಂಲಗ್ನವಾಗಿರುವ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಆ ಶೃಂಗದ ಸ್ತರ(ಡಿಗ್ರಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ ೧ರಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ಸ್ತರ ೪, ಶೃಂಗದ ಸ್ತರ . ಒಂದು ಶೃಂಗದ ಸ್ತರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಏಕಾಂತ(ಐಸೊಲೇಟೆಡ್) ಶೃಂಗ ಎಂಬ ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ ೧ರ G ಒಂದು ಏಕಾಂತ ಶೃಂಗ.
ಶೂನ್ಯ ಗ್ರಾಫುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫುಗಳು (ನಲ್ ಗ್ರಾಫ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಗ್ರಾಫ್ಸ್) ಅಂಚುಗಳಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫಿಗೆ ಅಂದರೆ ಗ್ರಾಫಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವೂ ಏಕಾಂತ ಶೃಂಗವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫಿಗೆ, ಶೂನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹೀಗಲ್ಲದ ಪ್ರತಿ ಒಂದು ಚೊತೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನೂ ಕೂಡಿಸುವ ಅಂಚುಗಳಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಗೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಚಿತ್ರ 2ರಲ್ಲಿ 1, 2, 3, 4. ಮತ್ತು 5 ಶೃಂಗಗಳಿರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫುಗಳನ್ನು ಕಾಣಿಸಿದೆ.
ಗ್ರಾಫಿನಲ್ಲಿರುವ ಆಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ: VI , V2. ,...........vn ಗಳು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿನ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿರಲಿ; ಮತ್ತು vi ಬಿರಿದುವಿನ ಸ್ತೆರ di ಆಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ :1,2.....n ಈಗ
ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಇದರಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫಿನ' ಪ್ರೆತಿಯೊಂದು ಅಂಚಿನ ಎಣಿಕೆ ಎರಡು ಸಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಆ ಆರಿಚಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೊನೆ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೊಂದು ಸಲ). ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚು ಕೂಡ ಎರಡು ಸಲ ಎಣಿಕೆಗೆ ಬರುವುದರಿಂದ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ q ಗ್ರಾಫಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಚುಗಳು ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯ.
ಈ ಕೆಳಗಿನದು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ದಾಂತದ ಮೊದಲನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.
ಪ್ರಮೇಯ ೧: ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿನ ಎಲ್ಲ ಶೃಂಗಗಳ ಸ್ತರಗಳ ಮೊತ್ತ ಆ ಗ್ರಾಫಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯಯ ಎರಡರಷ್ಟು.
ಈಗ ಸಮೀಕರಣ (೨)ರ ಎಡದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಸಮ (ಈವನ್) ಸ್ತರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದರೆ ಉಳಿವುವ ಎಲ್ಲ ವಿಷಮ ಸ್ತರಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಮಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ () ರಲ್ಲಿ ವಿಷಮ ಸ್ತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದು ಸಮಸ್ಂಖ್ಯೆದಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ ೨: ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿನಲ್ಲಿ ವಿಷಮ ಸ್ತರದ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಮ. ಸಂಯೋಜಿತ ಗ್ರಾಫುಗಳು (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್ ಗ್ರಾಫ್ಸ್): ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿನ ಶೃಂಗಗಳು ಆಗಿರಲಿ. ಆಗ ನಡೆ(ವಾಕ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇಂಥ ಒಂದು ನಡೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಂದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರಬಹುದು.
ಒಮ್ದು ನಡೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಅಂಚುಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ತುಣುಕು ನಡೆ(ಟ್ರೇಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಒಂದು ನಡೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳೂ ಅಂಚುಗಳೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ದಾರಿ (ಪಾತ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಚಕ್ರ (ಸೈಕಲ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ () ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಡೆ ಇದು ತುಣುಕು.
