ಗಣಿತ ಆದರ್ಶಗಳು
೬೦
ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ದೃಢವಸ್ತು (ರಿಜಿಡ್ ಬಾಡಿ) ಒಂದು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ಆವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ಆರಂಭ ಸಮತಲವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಆವರ್ತನೆಗಳನ್ನು (ರೊಟೇಷನ್ಸ್) ಈ ವಸ್ತುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಗೊಂಡಿದ್ದು ಅದೇ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮತಲ B ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಸಮತಲ a ದೊಂದಿಗೆ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈಗ P1 ಮತ್ತು P2 ಗಳು 01 ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ ಮುಂದಕ್ಕೆ 02 ಕೋನೆಗಳಷ್ಟು ಆವರ್ತಿಸುವಂಥ ಆವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ತರುವಾಯ P2 ಆವರ್ತನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು 01 + 02 ಎಂಬ ಅಳತೆಯ ಕೋನದ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ P1 ಮತ್ತು P2 ಗಳು ಎರಡು ಅವರ್ತನೆಗಳಾದರೆ P1 P2 ಸಹ ಒಂದು ಆವರ್ತನೆಯೇ, P1 ಮತ್ತು P2ಗಳಿಂದ P1 P2ನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಪರಿಕರ್ಮವನ್ನು ಆವರ್ತನೆಗಳ ಗಣದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಒಂದು ಬಗೆಯ ದ್ವಿಗುಣಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಗಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕರ್ಮಕ್ಕೆ ಆವರ್ತನೆಗಳ ಸ್ಂಕಲನ ಎಂದು ಹೆಸರು.
ಹೀಗೆ ಒಂದು ಗಣದ ಎರಡು ಧಾತುಗಳಿಂದ ಹೊರಟು ಅವನ್ನು ಯಾವುದೋ ಒಂದು ರೀತಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅದೇ ಗಣದ ಒಂದು ಧಾತು ದೊರಕುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಅನೇಕ ಕಡೆ ಕಾಣಸಿಕ್ಕುತ್ತವೆ. ಇಂಥ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಅಮೂರ್ತರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಒಂದು ಬಗೆಯ ಗಣಿತ ಆದರ್ಶವೇ ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿರ್ಮವೆಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯ ಬೇಕು.
ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು (ಟ್ರಾನ್ಸ್ ಘರ್ಮೇಷನ್ಸ್) : S ಅಂದು ಗಣವೂ OS-S ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣವೂ ಆಗಿದ್ದ್ರೆ Oನ್ನು Sನ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ೧ ಆರ್ ಎನ್ನುವುದು ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ O:R-Rನ್ನು (X)=X+3 ಎಂದು ಆರ್ ಎಲ್ಲ X ಗಳಿಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾಸಿದದರೆ O: R-R ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ. ಏಕೆಂದರೆ Y=R ಆಗಿದ್ದರೆ Y= O (Y-3). ಆದ್ದರಿಂದ O ಒಂದು ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣ. ಹಾಗೆಯೇ X1+X3=X2+3 ಆಗಿದ್ದರೆ X1=X2:ಎಂದರೆ O(X1)=O(X2) X1=X2; O ಒಂದು ಒಳಚಿತ್ರಣ :Oಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ: ಅದ Rನ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ.
2A ಒಂದು ಸಮತಲವೂ | ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೇಯೂ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ P=A,A ದರಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ PM ]ನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದುPM=MP ಆಗುವಂತೆ PM ನ್ನು Pಗೆ ವೃದ್ಧಿಸಿದರೆ ] ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಮತಲದರ್ಪಣವನ್ನು ಇಟ್ಟಾಗ Pಯ ಬಿಂಬ ಬೀಳುವ ಬಿಂದುವೇ P ಆಗುತ್ತದೆ. ಈರಚನೆಯಿಂದ Aದಲ್ಲಿ ] ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನುಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಅನ್ವಯವನ್ನು A-A ಎಂದು ಬರೆದು(P)=P ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ಈ ಎಂಬುದು Aದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ P=A ಆಗಿದ್ದರೆ <> (<(P))=P ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇದರಿಂದ < ಚಿತ್ರಣ ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಮೇಲಾಗಿ <(P)=< (Q) ಎಂದಿದ್ದರೆ < (<(P)=<(<(Q))
- P=Q
- < ಒಂದು ಒಳಚಿತ್ರಣ; :ಅದು ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ; ಅದು ಸಮತಳ ಎ ದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿಫಲನ ಚಿತ್ರಣ(ರಿಪ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಮ್ಯಾಪ್ಗಿಂಗ್) ಎಂದು
ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
೩ ದತ್ತಸಮತಗಳ ಎದಲ್ಲಿ OX,O ಅಕ್ಷರಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ X ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನು ದತ್ತಬಿಂದು pಯ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎಂದರೆ ಎ ದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೂ ಒಂದು ಕ್ರಮಯುಕ್ತ ನೈಜಸಂಖ್ಯಾಯುಗ್ಮ(x,y) ಎಕೈಕವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ H ಮತ್ತು Kಗಳು ದತ್ತ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ a ದಿಂದ ಎ ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಚಿತ್ರಣ ೦ ವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ್.
೦: a-a ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ೦(x,y)=(x+h,y+k) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ; (x,y)=0 (x-h,y-k) ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ವೇದ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ೦(x-h,y-k)=(x-h)+h,(y-k)+k)=(x,y);0:a-a ಒಂದು ಮೇಲ್ಚಿತ್ರಣ.ಮೇಲಾಗಿ೦(x,y)=0(x',y')ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ [(x+h,y+k)=(x'+h,y'+k)] [ಎಂದರೆ x+h=x'+h] ಆದ್ದರಿಂದ x=x' ಹಾಗು y+k=y'+k. ಆದ್ದರಿಂದ y=y'.[ಎಂದರೆ (x,y)=(x',y') ಎಂದಾಯಿತು ].
ಆದ್ದರಿಂದ ೦:ಎ-ಎ ಒಂದು ಒಳಚಿತ್ರಣ: ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ದ್ವೈಚಿತ್ರಣ: ಆದ್ದರಿಂದ ಎ ದ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೆ. ಇದು ಸರಳ ಚಲನೆಗೆ (ಟ್ರಾನ್ಸ್ ಲೇಷನ್) ಒಂದು ನಿದರ್ಶನ.
ಗ್ರೂಪುಗಳು: ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಗತಿಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ್ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಮುಂತಾದ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು , ಆವರ್ತನೆಗಳು, ಸರಳಚನೆಗಳೂ. ವಿಕ್ಷೇಪಗಳು (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಸ್), ವಿಕಸನಗಳು (ಡೈಲೆಟೇಷನ್ಸ್), ಸ್ಪರ್ಶ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಮುಂತಾದುವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುವುದು ನಿತ್ಯಕರ್ತವ್ಯ. ಒಂದು ದತ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ (ಎಂದರೆ ಒಂದು ಗಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದೋ ಎರದೋ ದ್ವಿಗುಣ್ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಮತ್ತು ಆ ಗಣದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಗಳು -ಇವುಗಳ ಒಂದು ಸಮಾಹಾರ) ಮೇಲೆ ಬಂದರ ತರುವಾಯ ಮತ್ತೊಂದರಂತೆ ಹಲವಾರು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಈ ಶಾಸ್ತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸರ್ವಸಾಧಾರಣ. ಈ ವಿವಿಧ ವಿಶೇಷ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಒಂದೊಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನೂ ಅದರ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಧಾತುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಯೋಜನೆ ಹೊಂದುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನೂ ದೃಷ್ಟಿಸಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಗೌಣವಾದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಪ್ರಮುಖವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಾಮ್ಯ ಎದ್ದು ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅವುಗಳಿಗೂ ಅವುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಧಾತು ಮತ್ತು ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗೂ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕೇವಲ ನಾಮವಿಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆದಿದ್ದು ಇವೆಲ್ಲವುಗಳಲ್ಲೂ ಅಂತರ್ಗಾಮಿಯಾಗಿ ಪ್ರವಹಿಸುವ ಹಲವು ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಏಕರೂಪೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ತೆರೆನಾದ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ನಾಮಮಾತ್ರದಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಏಕೈಕತ್ವವನ್ನು ಪಡೆದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.
ಈ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವುದುದರಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಗ್ರೂಪುಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು (ನೋಡಿ- ಗ್ರೂಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ).
ವಲಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (ರಿಂಗ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಫೀಲ್ಡ್) : ಚಿರಪರಿಚಿತವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ ಜ಼್ ನಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ(+) ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ(*) ಎಂಬ ಎರಡು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿರುವುದು ತಿಳಿದೇ ಇದೆ; ಇವು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರಿಂದ ಸಂಕಲನಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಜ಼್ ಒಂದು ಸಾಹಚರ್ಯ ಗ್ರೂಪ್. ಎಂದರೆ ೧ ಜ಼ ನ ಎಲ್ಲ x,y,zಗಳಿಗೂ ಸಾಹಚರ್ಯ ನಿಯಮ:
(x+y)+z=x+(y+z) ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ.
೨ x+y=y+x ಎಂಬ ವ್ಯತ್ಯಯ ನಿಯಮ ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ೩ z ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ಧಾತು x ನೊಂಗೂ ೦+x = x=x+0 ಆಗುವಂತೆ z ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ೦ ಇರುತ್ತದೆ. ೪ xe z ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದರೊಂದಿಗೆ (-x)+x=0(-x) ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ (-x) ಸಹ zನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
